Cho hai số thực x y thỏa mãn:x - 3 căn x + 1 = 3 căn y + 2 - y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\) .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\) .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y.\)
Điều kiện: \(x \ge - 1;\,\,y \ge - 2.\)
Với \(\forall a,b\) ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) \( \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\) (1)
Dấu “=” của (1) xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)
Ta có:
\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y \Leftrightarrow x + y = 3\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} } \right)\)
Áp dụng (1) ta được: \({\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 2\left( {x + y + 3} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 9{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 18\left( {x + y + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 18\left( {x + y} \right) - 54 \le 0 \Rightarrow x + y \le 9 + 3\sqrt {15} \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 9 + 3\sqrt {15} \\\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(9 + 3\sqrt {15} \) đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.\)
Chọn D.