Cho hai số thực phân biệt a,,,b thỏa mãn a^3 + b^3 = a^2b^2( ab - 3 ).
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai số thực phân biệt \(a, \, \,b \) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2} \left( {ab - 3} \right). \) Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b - ab. \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho hai số thực phân biệt \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right).\) Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b - ab.\)
Ta có: \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Theo đề bài có: \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right)\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right)\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = x\\ab = y\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {{x^2} \ge 4y} \right).\) Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} - 3xy = {y^2}\left( {y - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3xy = {y^3} - 3{y^2}\\ \Leftrightarrow {x^3} - {y^3} - 3xy + 3{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3y\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^2} + xy + {y^2} - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} - 3y = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(x = y\) ta có: \(a + b = ab \Rightarrow T = a + b - ab = 0.\)
+) Với \({x^2} + xy + {y^2} - 3y = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(T = a + b - ab = x - y\)
Ta có: \({x^2} \ge 4y \Rightarrow \frac{3}{4}{x^2} \ge 3y\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = {x^2} + xy + {y^2} - 3y = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{4} + xy + {y^2} - 3y\\ \Leftrightarrow 0 = \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + xy + {y^2}} \right) + \left( {\frac{{3{x^2}}}{4} - 3y} \right)\\ \Leftrightarrow \underbrace {{{\left( {\frac{x}{2} + y} \right)}^2}}_{ \ge 0\,\,\forall x,\,\,y} + \underbrace {\left( {\frac{{3{x^2}}}{4} - 3y} \right)}_{ \ge 0\,\,\,\left( {cmt} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + y = 0\\\frac{{3{x^2}}}{4} - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y\\{x^2} = 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y\\{x^2} + 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow T = x - y = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow T = x - y = - 2 - 1 = - 3.\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy ta có \(T = 0\) hoặc \(T = - 3.\)
Chọn D.
