Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x2 + 8y le 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K = xy + 2yx
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(\frac{x}{2} + \frac{8}{y} \le 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(K = \frac{x}{y} + \frac{{2y}}{x}.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
\(2 \ge \frac{x}{2} + \frac{8}{y} \ge 2\sqrt {\frac{x}{2}.\frac{8}{y}} = 4\sqrt {\frac{x}{y}} \Rightarrow 0 < \sqrt {\frac{x}{y}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{y} \le \frac{1}{4}\)
Đặt \(t = \frac{x}{y}\;\;\left( {0 < t \le \frac{1}{4}} \right),\) khi đó ta được:
\(K = t + \frac{2}{t} = \left( {32t + \frac{2}{t}} \right) - 31t \ge 2\sqrt {32t.\frac{2}{t}} - 31.\frac{1}{4} = \frac{{33}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 32t = \frac{2}{t} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{x}{2} = \frac{8}{y}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\xy = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\4{x^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0} \right).\)
Vậy \({K_{\min }} = \frac{{33}}{4}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right..\)
Chọn B.
