Cho hai số thực dương ab thỏa mãn a + b + 3ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 6aba + b -
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{6ab}}{{a + b}} - {a^2} - {b^2}.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo đề bài ta có: \(a + b + 3ab = 1 \Leftrightarrow 3ab = 1 - \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow ab = \frac{{1 - \left( {a + b} \right)}}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{1 - \left( {a + b} \right)}}{3} \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 4 - 4\left( {a + b} \right) \le 3{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 6\left( {a + b} \right) - 2\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + b} \right)\left[ {\left( {a + b} \right) + 2} \right] - 2\left( {a + b + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + 2} \right)\left[ {3\left( {a + b} \right) - 2} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + b} \right) - 2 \ge 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a + b + 2 > 0\,\,\forall a,\,\,b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow a + b \ge \frac{2}{3}.\\ \Rightarrow P = \frac{{6ab}}{{a + b}} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \frac{{2 - 2\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \le \frac{2}{{a + b}} - 2 - \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \le \frac{2}{{\frac{2}{3}}} - 2 - \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{7}{9}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}.\)
Vậy \(Max\,\,P = \frac{7}{9}\) khi \(a = b = \frac{1}{3}.\)
Chọn A.
