Cho hai hàm số y = xx + 1 + x + 1x + 2 + x + 2x + 3 + x + 3x + 4 và y
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} \) và \(y = \left| {x + 1} \right| - x + m \) ( \(m \) là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \( \left( {{C_1}} \right) \) và \( \left( {{C_2}} \right) \). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m \) để \( \left( {{C_1}} \right) \) và \( \left( {{C_2}} \right) \) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} = \left| {x + 1} \right| - x + m\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1\,; - 2\,; - 3\,; - 4} \right\}\).
Từ \(\left( * \right)\) ta có \(m = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\) và đường thẳng \(y = m\).
Xét hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\)
Ta có \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} + 1 - \dfrac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\)
Nhận thấy \(\left| {x + 1} \right| > x + 1\,\,\forall x \ne - 1 \Rightarrow \left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right) > 0\,\,\forall x \ne - 1\).
Do đó \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} + \dfrac{{\left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right)}}{{\left| {x + 1} \right|}} > 0\)\(\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1\,; - 2\,; - 3\,; - 4} \right\}\).
Ta có BBT của hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\)
Từ bảng biến thiên, để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(m \ge 3\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.