Cho hai bất phương trình x^2 - m( m^2 + 1 )x + m^4 < 0( 1 ) và x^2 + 4x + 3 > 0( 2 ). Các giá trị củ
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai bất phương trình \({x^2} - m\left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^4} < 0\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + 4x + 3 > 0\,\,\left( 2 \right)\). Các giá trị của tham số m sao cho nghiệm của bất phương trình (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2) là:
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le - 3\end{array} \right. \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình (2).
Giả sử \({S_1}\) là tập nghiệm của bất phương trình (1), yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {S_1} \subset {S_2}\).
Xét phương trình \({x^2} - m\left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^4} = 0\)
\(\begin{array}{l}{\Delta _1} = {m^2}{\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 4{m^4} = {m^2}\left[ {{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2} - 4{m^2}} \right]\\ = {m^2}\left( {{m^4} + 2{m^2} + 1 - 4{m^2}} \right) = {m^2}\left( {{m^4} - 2{m^2} + 1} \right) = {m^2}{\left( {{m^2} - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\end{array}\)
Do đó phương trình có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m\left( {{m^2} + 1} \right) + m\left( {{m^2} - 1} \right)}}{2} = {m^3}\\{x_2} = \dfrac{{m\left( {{m^2} + 1} \right) - m\left( {{m^2} - 1} \right)}}{2} = m\end{array} \right.\)
TH1: \({m^3} = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\).
Với \(m = 0 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} < 0\) (vô nghiệm) (ktm)
Với \(m = 1 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} - 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} < 0\) (vô nghiệm) (ktm)
Với \(m = - 1 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} + 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} < 0\) (vô nghiệm) (ktm)
TH2: \({m^3} < m \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \Rightarrow {S_1} = \left( {{m^3};m} \right)\).
Để \({S_1} \subset {S_2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{m^3};m} \right) \subset \left( { - \infty ; - 3} \right]\\\left( {{m^3};m} \right) \subset \left[ { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\{m^3} \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m \ge - 1\end{array} \right.\).
Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\0 < m < 1\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).
TH3: \(m < {m^3} \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\m > 1\end{array} \right. \Rightarrow {S_1} = \left( {m;{m^3}} \right)\).
Để \({S_1} \subset {S_2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {m;{m^3}} \right) \subset \left( { - \infty ; - 3} \right]\\\left( {m;{m^3}} \right) \subset \left[ { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^3} \le - 3\\m \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \sqrt[3]{{ - 3}}\\m \ge - 1\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\m > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\m > 1\end{array} \right.\) (**)
Kết hợp (*) và (**) ta được \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Chọn A.