Cho góc alpha thỏa mãn pi 2 < alpha < pi và sin alpha 2 = 2 căn 5 . Tính giá trị của biểu thức A
Câu hỏi
Nhận biếtCho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)
Vì \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{4} < \frac{\alpha }{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} > 0.\)
Do \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \sqrt {1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}} = 2.\)
\( \Rightarrow A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \frac{\alpha }{2} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\alpha }{2}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2.1}} = \frac{1}{3}.\)
Chọn C.