Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ dây cung CD vuông góc với AB t
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Kẻ dây cung \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) (\(H\) nằm giữa \(A\) và \(O\), \(H\) khác \(A\) và \(O\)). Lấy điểm \(G\) thuộc đoạn \(CH\) (\(G\) khác \(C\) và \(H\)), tia \(AG\) cắt đường tròn tại \(E\) khác \(A\).
a. Chứng minh tứ giác \(BEGH\) là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BE\) và \(CD\). Chứng minh \(KC.KD = KE.KB\).
c. Đoạn thẳng \(AK\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(F\) khác \(A\). Chứng minh \(G\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(HEF\).
d. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) lên đường thẳng \(EF\). Chứng minh \(HE + HF = MN\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a. Chứng minh tứ giác \(BEGH\) là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(\angle AEB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \angle GEB = {90^0}\).
Có \(CD \bot AB\) tại \(H\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle GHB = {90^0}\)
Xét tứ giác \(BEGH\) có: \(\angle GHB + \angle GEB = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(BEGH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b. Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BE\) và \(CD\). Chứng minh \(KC.KD = KE.KB\).
Dễ thấy tứ giác \(BECD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle KEC = \angle CDB = \angle KDB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét tam giác \(KCE\) và tam giác \(KBD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle BKD\,\,\,chung\,\\\angle KEC = \angle KDB\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta KCE \sim \Delta KBD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{KC}}{{KB}} = \frac{{KE}}{{KD}} \Rightarrow KC.KD = KE.KB\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c. Đoạn thẳng \(AK\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(F\) khác \(A\). Chứng minh \(G\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(HEF\).
Ta có: \(\angle AFB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BF \bot AF\) (1).
Xét tam giác \(KAB\) có hai đường cao \(AE\) và \(KH\) cắt nhau tại \(G \Rightarrow G\) là trực tâm của tam giác \(KAB\).
\( \Rightarrow BG \bot AK\) hay \(BG \bot AF\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) qua \(B\) kẻ được 2 đường thẳng \(BG\) và \(BF\) cùng vuông góc với \(AF\).
\( \Rightarrow BG \equiv BF\) hay \(B,\,\,G,\,\,F\) thẳng hàng \( \Rightarrow GF \bot AF \Rightarrow \angle AFG = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AFGH\) có: \(\angle AFG + \angle AHG = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AFGH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle GHF = \angle GAF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(GF\)).
Tứ giác \(BEGH\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow GHE = \angle GBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(GE\)).
Lại có \(\angle GAF = \angle EAF = \angle EBF = \angle GBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\)).
\( \Rightarrow \angle GHF = \angle GHE \Rightarrow HG\) là phân giác của \(\angle EHF\) (*)
Tứ giác \(BEGH\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle GEH = \angle GBH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(GH\)).
Mà \(\angle GBH = \angle FBA = \angle FEA = \angle GEF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\))
\( \Rightarrow \angle GEH = \angle GEF \Rightarrow EG\) là phân giác của \(\angle HEF\) (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow G\) là giao điểm của hai đường phân giác của tam giác \(HEF \Rightarrow G\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(HEF\).
d. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) lên đường thẳng \(EF\). Chứng minh \(HE + HF = MN\).
