Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB và cát tuyến CMN với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm, M là điểm nằm giữa C và N). Gọi H là giao điểm của CO và AB
a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp
b) Chứng minh rằng CH.CO=CM.CN
c) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt CA, CB theo thứ tự E, F. Đường thẳng vuông góc với CO tại O cắt CA, CB theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh ^POE=^OFQ
d) Chứng minh rằng PE+QF≥PQ
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Vì CA và CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ^CAO=^CBO=900⇒^CAO+^CBO=1800
b) Xét tam giác ACM và NCA có ^ACN chungVậy tứ giác AOBC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
^CAM=^ANM (cùng chắn cung AM)
⇒ΔACM∼ΔNCA(g.g)⇒ACNC=CMAC⇒AC2=CM.CN
Xét tam giác vuông OAC cóAC2=CH.CO
Từ đó suy ra CH.CO=CM.CN
c) ^OFQ=^OCF+^COF=^OCP+^COF=^AOP+^COF+)^POE=^POA+^AOE=^AOP+12^AOM=^AOP+12(1800−^AEM)=^AOP+90o−12(^ECF+^CFE)=^AOP+90o−12(1800−^AOB)−12(180o−^MFB)=^AOP+12^AOB−12(1800−1800+^MOB)=^AOP+^COB−^BOF=^AOP+^COF
Vậy ^POE=^OFQ
d) Tam giác CPQ cân tại C⇒^OPE=^FQO , và ^POE=^OFQ(cmt) nên ΔPEO∼ΔQOF(g.g)
⇒PEQO=POQF⇒PE.QF=PO.QO=(PQ2)2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: PE+QF≥2√PE.QF=2√(PQ2)2=PQ
