Cho đường tròn (C):x^2 + y^2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 8\). Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành đỉnh của một hình vuông.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
(E) có độ dài trục lớn bằng 8 \( \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4\)
(E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành đỉnh của một hình vuông nên bốn đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai.
Giả sử A là một giao điểm của (E) và (C) thuộc đường phân giác \(\Delta :y = x\)
Gọi \(A\left( {t;t} \right) \in \Delta ,\,\,(t > 0)\). Ta có \(A \in \left( C \right) \Rightarrow {t^2} + {t^2} = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 4 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow A(2;2)\)
Mà \(A \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{2^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = \frac{{16}}{3}\)
Vậy phương trình chính tắc của elip \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{{16}}{3}}} = 1\).
Chọn: A