Cho đường tròn (C) có phương trình: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0;,,( D
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn (C) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 11 = 0; \, \, \left( \Delta \right)x - y - 2 = 0. \) Tìm \(M \in \left( C \right) \) để \(d \left( {M, \Delta } \right) \) là lớn nhất? nhỏ nhất?
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
+) Ta có: \(I\left( {2;3} \right);R = \sqrt {4 + 9 - 11} = \sqrt 2 \)
\(d\left( I;\Delta \right)=\frac{\left| 2-3-2 \right|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}=R\)
Nên \(\left( \Delta \right)\) không cắt (C).
+) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua I(2;3) và vuông góc với \(\left( \Delta \right)\)
(d) vuông góc với \(\left( \Delta \right)\) nên (d) có phương trình: \(x + y + C = 0\)
I(2;3) thuộc vào (d) nên ta có: \(2 + 3 + C = 0 \Rightarrow C = - 5\)
+) Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng (d) và (C) nên tọa độ của A, B là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 5 = 0\\
{x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 11 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 5 - x\\
{x^2} + {\left( {5 - x} \right)^2} - 4x - 6\left( {5 - x} \right) + 11 = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 5 - x\\
2{x^2} - 8x + 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;2} \right);B\left( {1;4} \right)
\end{array}\)
+) \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }};d\left( {B;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 4 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\)
+) Có \(d\left( {A;\Delta } \right) < d\left( {B;\Delta } \right)\) . Nên M trùng với B thì \(d\left( {M;\Delta } \right)\) lớn nhất. M trùng với A thì \(d\left( {M;\Delta } \right)\) nhỏ nhất .
Chọn C.