Cho đường thẳng d:y = 2 x + m^2 - 1 và parabol ( P ):y = x^2 (với m là tham số) trong mặt phẳng tọa
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường thẳng \(d:y = 2{\rm{x}} + {m^2} - 1\) và parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) (với \(m\) là tham số) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
a) Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B.\)
b) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) trên trục hoành. Tìm \(m\) để độ dài đoạn thẳng \(HK\) bằng 3 (đơn vị độ dài).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Tìm m để d cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và \(\left( P \right)\) là : \(2x + {m^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
Để d cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B \( \Leftrightarrow \;\;\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {1^2} - \left( { - {m^2} + 1} \right) = {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\)
Vậy với \(m \ne 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài).
Ta có H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành
\( \Rightarrow \) Hoành độ của H và K bằng hoành độ lần lượt của A và B
Gọi \({x_1}\,,\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của (1) \( \Rightarrow \) Hoành độ của H và K bằng \({x_1}\,,\,\,{x_2} \Rightarrow H\left( {{x_1};\;0} \right),\;K\left( {{x_2};\;0} \right).\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - {m^2} + 1\end{array} \right.\)
Để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2} = 9\\ \Leftrightarrow {2^2} - 4\left( { - {m^2} + 1} \right) = 9 \Leftrightarrow 4 + 4{m^2} - 4 = 9\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 9 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vơi \(m = \pm \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn D.
