Cho các số thực x;y thỏa mãn căn x + 5 - y^3 = căn y + 5 - x^3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực \(x,\;y\) thỏa mãn \(\sqrt {x + 5} - {y^3} = \sqrt {y + 5} - {x^3}.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} - 3xy + 12y - {y^2} + 2018.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge - 5;\;y \ge - 5.\)
Ta có: \(\sqrt {x + 5} - {y^3} = \sqrt {y + 5} - {x^3}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 5} + {x^3} = \sqrt {y + 5} + {y^3}.\;\;\;\left( * \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \sqrt {t + 5} + {t^3}\;\;\left( {t \ge - 5} \right).\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{t_1}} \right) = \sqrt {{t_1} + 5} + t_1^3\\f\left( {{t_2}} \right) = \sqrt {{t_2} + 5} + t_2^3\end{array} \right.\)
Xét với \({t_1} < {t_2}\) ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( {{t_2}} \right) - f\left( {{t_1}} \right) = \sqrt {{t_2} - 5} + t_2^3 - \sqrt {{t_1} + 5} - t_1^3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {\sqrt {{t_2} - 5} - \sqrt {{t_1} + 5} } \right) + \left( {t_2^3 - t_1^3} \right).\end{array}\)
Vì \({t_2} > {t_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{t_2} - 5} - \sqrt {{t_1} - 5} > 0\\t_2^3 - t_1^3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( {{t_2}} \right) > f\left( {{t_1}} \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \sqrt {x - 5} + {x^3}\\y = f\left( y \right) = \sqrt {y - 5} + {y^3}\end{array} \right.\) là các hàm số đồng biến.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow Pt\;\;\left( * \right) \Leftrightarrow x = y.\\ \Rightarrow P = {x^2} - 3xy + 12y - {y^2} + 2018 = - 3{x^2} + 12x + 2018\\\;\;\;\;\;\;\; = - 3\left( {{x^2} - 4x} \right) + 2018 = - 3\left( {{x^2} - 4x + 4 - 4} \right) + 2018\\\;\;\;\;\;\;\; = - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 2030.\end{array}\)
Vì \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x \ge - 5 \Rightarrow - 3{\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\;\forall x \ge - 5 \Rightarrow - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 2030 \le - 2030\;\;\forall x \ge - 5.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
Vậy \(Max\;P = 2030\;\;khi\;\;x = y = 2.\)
Chọn D.
