Cho các số thực x y z không âm thỏa mãn x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6. Tìm giá trị lớn nhất và
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực \(x,\ y,\ z\) không âm thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}=6.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=x+y+z.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \({{Q}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+zx \right)=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( zx \right)}^{2}}+2xy+2yz+2zx\)
\(\begin{align} & =9-\left[ {{\left( xy-1 \right)}^{2}}+{{\left( yz-1 \right)}^{2}}+{{\left( zx-1 \right)}^{2}} \right]\le 9\Leftrightarrow Q\le 3. \\ & \Rightarrow Max\ Q=3. \\ \end{align}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & xy=yz=zx=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)
Chọn D
