Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = √3xy + y2.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có : ab ≤ 
⇔ 2ab ≤ a2 + b2 ⇔ (a – b)2 ≥ 0 (đúng với mọi a, b)
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
M = √3xy + y2 = (√3x)y + y2 ≤ 
+ y2 = 
= 
Mà x2 + y2 = 1 => M ≤ 
. Dấu « = » xảy ra ⇔ 
⇔ 
Vậy giá trị lớn nhất của M là ; đạt được khi x = 
và y = 
hoặc x = - và
y = -
Xét 2M + 1 = 2(√3xy + y2) + 1 = 2√3xy + 2y2 + (x2 + y2)
= x2 + 2x√3y + 3y2 = (x + √3y)2 ≥ 0 với mọi x, y
Suy ra M ≥ 
. Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ 
⇔ x = - và y = hoặc x = và y =
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là , đạt được khi và chỉ khi x = - và y = hoặc x = và y =
