Cho các số thực không âm xyz thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu - Tự Học 365

Cho các số thực không âm xyz thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi và hướng dẫn giải

Nhận biết

Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} - 6x + 25} + \sqrt {{y^2} - 6y + 25} + \sqrt {{z^2} - 6z + 25} .\)


Đáp án đúng: D

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 3.\)

Tìm GTLN:

Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le \frac{{15 - x}}{3}\) với \(0 \le x \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le 15 - x\\ \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \le {x^2} - 30x + 225\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 24x \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 8x\left( {x - 3} \right) \le 0\), luôn đúng với mọi \(0 \le x \le 3\).

Tương tự: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \le \frac{{15 - y}}{3}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \le \frac{{15 - z}}{3}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)

Do đó, \(M \le \frac{{15 - x + 15 - y + 15 - z}}{3} = \frac{{45 - 3}}{3} = 14\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x;y;\,\,z} \right) = \left( {3;0;\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

Tìm GTNN:

Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \ge \frac{{11 - x}}{{\sqrt 5 }}\) với \(0 \le x \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)} \ge 11 - x\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \ge {x^2} - 22x + 121\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\) luôn đúng với \(0 \le x \le 3\).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \ge \frac{{11 - y}}{{\sqrt 5 }}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \ge \frac{{11 - z}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)

Do đó, \(M \ge \frac{{11 - x + 11 - y + 11 - z}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{33 - 3}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1.\)

Vậy GTLN của \(M\) là \(14\) đạt được khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;0;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;3;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;3} \right)\)và GTNN của \(M\)là \(6\sqrt 5 \) đạt được khi \(x = y = z = 1.\)

Chọn D.

Ý kiến của bạn

×

Tham Gia Lớp Học Online 7 Ngày

Lớp học miễn phí duy nhất hướng dẫn bạn chiến lược đột phá học tập, định hướng
(Và chinh phục điểm số bạn mơ ước)
Lớp học online này sẽ giúp bạn có tất cả mọi thứ. Từ thời gian biểu học tập (chi tiết từng tuần) hiệu quả, cách trọn trường đại học phù hợp cho tới NGUỒN tài liệu, đề thi thử học tập bám sát bài thi trên lớp(Độc quyền chỉ có tại Tự Học 365)

Tham Gia Lớp Học Online 7 Ngày

Điền chính xác thông tin ở bên dưới và chúng tôi sẽ gửi video #1 trong chuỗi khóa học cho bạn.

KHOAN ĐÃ!!!

Lớp học Miễn Phí này chỉ xuất hiện duy nhất 1 lần tại đây Bạn chắc chắn muốn thoát chứ?