Cho các số thực không âm xyz thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} - 6x + 25} + \sqrt {{y^2} - 6y + 25} + \sqrt {{z^2} - 6z + 25} .\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Từ giả thiết suy ra \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 3.\)
Tìm GTLN:
Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le \frac{{15 - x}}{3}\) với \(0 \le x \le 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le 15 - x\\ \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \le {x^2} - 30x + 225\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 24x \le 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 8x\left( {x - 3} \right) \le 0\), luôn đúng với mọi \(0 \le x \le 3\).
Tương tự: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \le \frac{{15 - y}}{3}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \le \frac{{15 - z}}{3}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)
Do đó, \(M \le \frac{{15 - x + 15 - y + 15 - z}}{3} = \frac{{45 - 3}}{3} = 14\).
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x;y;\,\,z} \right) = \left( {3;0;\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)
Tìm GTNN:
Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \ge \frac{{11 - x}}{{\sqrt 5 }}\) với \(0 \le x \le 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)} \ge 11 - x\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \ge {x^2} - 22x + 121\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\) luôn đúng với \(0 \le x \le 3\).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \ge \frac{{11 - y}}{{\sqrt 5 }}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \ge \frac{{11 - z}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)
Do đó, \(M \ge \frac{{11 - x + 11 - y + 11 - z}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{33 - 3}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \).
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1.\)
Vậy GTLN của \(M\) là \(14\) đạt được khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;0;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;3;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;3} \right)\)và GTNN của \(M\)là \(6\sqrt 5 \) đạt được khi \(x = y = z = 1.\)
Chọn D.
