Cho các số thực dương x y thỏa mãn (x + y – 1)2 = xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = <
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương x, y thỏa mãn (x + y – 1)2 = xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 
+ 
+ 
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có (x + y – 1)2 = xy => [(x – 1) + (y – 1) + 1]2 = xy
=>(x – 1)2 + (y – 1)2 + 2(x – 1)(y – 1) + 2(x – 1) + 2(y – 1) + 1 = xy
=>(x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 – xy
=> 1 – xy ≥ 0 => xy ≤ 1
=> (x – 1)2 + (y – 1)2 ≤ 1; xy ≤ 1; x > 0; y > 0 (gt)
=> 
≥ 1 ; x + y ≤ 2 => ≥ 1; 
≥ 
(*)
Mà P = 
+ 
+ +
Ap dụng bất đẳng thức phụ 
+ 
≥ 
và bđt Cô si a + b ≥ 2√ab ta có
P ≥ 
+ 2
(**)
Từ (*) và (*) => P ≥ 
+ 
+ = 2. Dấu « = » xảy ra khi x = y =1
