Cho các số thực dương abc thảo mãn abc = a + b + c + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương \(a,b,c\) thảo mãn \(abc = a + b + c + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }}.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(abc = a + b + c + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} + \frac{2}{{abc}} = 1\)
Đặt \(\frac{1}{a} = \frac{x}{{y + z}};\,\,\frac{1}{b} = \frac{y}{{z + x}};\,\,\frac{1}{c} = \frac{z}{{x + y}}\,\,\,\,\left( {x,\,y,\,\,\,z > 0} \right)\)
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số dương ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ac\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {2ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {2bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {2ca} }}\)
Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {2ab} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 .\sqrt {ab} }} = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} .\frac{1}{{\sqrt 2 }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Tương tự ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2bc} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{x + z}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\frac{1}{{\sqrt {2bc} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{y + z}} + \frac{x}{{x + y}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế ta có: \(P \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).
Dấu “=” xảy ra\( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 2.\)
Chọn B.
