Cho các số thực abc thỏa mãn: 0 le a;b;c le 2;a + b + c = 3. Tìm GTLN và GTNN của: P = a^2 + b^2 + c
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn: \(0 \le a,\;b,\;c \le 2,\;a + b + c = 3.\) Tìm GTLN và GTNN của: \(P = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ac}}.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ca\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \frac{1}{2}\left( {2ab + 2ac + 2bc} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + ac + bc.\\ \Rightarrow P = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} \ge 1.\end{array}\)
Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)
Vậy \(Min\;\;P = 1\;\;khi\;\;a = b = c = 1.\)
Theo đề bài ta có :
\(\begin{array}{l}0 \le a,\;b,\;c \le 2 \Rightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow abc - 2\left( {ab + ac + bc} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) - 8 \le 0\\ \Leftrightarrow abc - 2\left( {ab + ac + bc} \right) + 12 - 8 \le 0\\ \Rightarrow 2(ab + ac + bc) \ge 4 + abc \ge 4\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc}}{{ab + ac + bc}} - 2\\ \Leftrightarrow P = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + ac + bc}} - 2 \le \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}.\end{array}\)
Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}abc = 0\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b + c = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a + c = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b = 3\end{array} \right.\\0 \le a,\;b,\;c \le 2\end{array} \right..\)
Vậy \(Max\;\;P = \frac{5}{2}\;\;khi\;\;abc = 0,\;\;a + b + c = 3,\;0 \le a,\;b,\;c \le 2.\)
Chọn C.
