Cho các số a,b,c,x,y,z đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện dfracxa +
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,x,\,\,y,\,\,z\) đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1;\)\(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0.\)Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1.\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho các số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,x,\,\,y,\,\,z\)đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1;\) \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0.\)Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1.\)
Ta có: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\dfrac{{xy}}{{ab}} + \dfrac{{xz}}{{ac}} + \dfrac{{yz}}{{bc}}} \right) = 1\,\,\,\left( * \right)\)
Từ \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{x} = - \dfrac{{bz + cy}}{{yz}} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = - \dfrac{{yz}}{{bz + cy}}\)
Khí đó ta có biểu thức (*) tương đương với:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( { - \dfrac{{yz}}{{bz + cy}}\left( {\dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c}} \right) + \dfrac{{yz}}{{bc}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( { - \dfrac{{yz}}{{bz + cy}}.\dfrac{{yc + bz}}{{bc}} + \dfrac{{yz}}{{bc}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( { - \dfrac{{yz}}{{bc}} + \dfrac{{yz}}{{bc}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\,\,\left( {\,dpcm} \right)\end{array}\)
