Cho các đa thức:
P( x ) = m1x^2 + n1x + k1,Q( x ) =
Câu hỏi
Nhận biếtCho các đa thức:
\(P\left( x \right) = {m_1}{x^2} + {n_1}x + {k_1},\,\,Q\left( x \right) = {m_2}{x^2} + {n_2}x + {k_2},\,\,R\left( x \right) = {m_3}{x^2} + {n_3}x + {k_3}\)
Với \({m_i},\,\,{n_i},\,\,{k_i}\) là các số thực và \({m_i} > 0,\,\,i = 1;2;3.\) Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({a_1},\,\,{a_2}\), phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({b_1},\,\,{b_2}\), phương trình \(R\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({c_1},\,\,{c_2}\) thỏa mãn:
\(\begin{array}{l}P\left( {{c_1}} \right) + Q\left( {{c_1}} \right) = P\left( {{c_2}} \right) + Q\left( {{c_2}} \right)\\P\left( {{b_1}} \right) + R\left( {{b_2}} \right) = P\left( {{b_2}} \right) + R\left( {{b_2}} \right)\\Q\left( {{a_1}} \right) + R\left( {{a_2}} \right) = Q\left( {{a_2}} \right) + R\left( {{a_2}} \right)\end{array}\)
Chứng minh \({a_1} + {a_2} = {b_1} + {b_2} = {c_1} + {c_2}\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Do phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({a_1},\,\,{a_2}\), phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({b_1},\,\,{b_2}\), phương trình \(R\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({c_1},\,\,{c_2}\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} = - \frac{{{n_1}}}{{{m_1}}}\\{a_1}{a_2} = \frac{{{k_1}}}{{{m_1}}}\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}{b_1} + {b_2} = - \frac{{{n_2}}}{{{m_2}}}\\{b_1}{b_2} = \frac{{{k_2}}}{{{m_2}}}\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}{c_1} + {c_2} = - \frac{{{n_3}}}{{{m_3}}}\\{c_1}{c_2} = \frac{{{k_3}}}{{{m_3}}}\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}P\left( {{c_1}} \right) + Q\left( {{c_1}} \right) = P\left( {{c_2}} \right) + Q\left( {{c_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1}c_1^2 + {n_1}{c_1} + {k_1} + {m_2}c_1^2 + {n_2}{c_1} + {k_2} = {m_1}c_2^2 + {n_1}{c_2} + {k_1} + {m_2}c_2^2 + {n_2}{c_2} + {k_2}\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {c_1^2 - c_2^2} \right) + \left( {{n_1} + {n_2}} \right)\left( {{c_1} - {c_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{c_1} - {c_2}} \right)\left[ {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {n_1} + {n_2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {n_1} + {n_2} = 0\,\,\left( {Do\,\,{c_1} \ne {c_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) - {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) - {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_2}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
CMTT ta có:
\(\begin{array}{l}{m_1}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\{m_2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) = {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Cộng chéo vế theo vế của (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}{m_1}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_2}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_1}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {c_1} + {c_2} = {b_1} + {b_2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\left( {Do\,\,{m_1} + {m_2} + {m_3} > 0} \right)\end{array}\)
Cộng chéo vế theo vế của (2) và (3) ta có:
\(\begin{array}{l}{m_1}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\, + {m_2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{a_1} + {a_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {b_1} + {b_2} = {a_1} + {a_2}\,\,\,\left( {**} \right)\,\,\left( {Do\,\,{m_1} + {m_2} + {m_3} > 0} \right)\end{array}\)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow {a_1} + {a_2} = {b_1} + {b_2} = {c_1} + {c_2}\,\,\left( {dpcm} \right)\).
