Cho biểu thức: P = ( a căn a + 2 + a + căn a a + 3 căn a + 2 ).4 - a căn a . a) Rút gọn biểu
Câu hỏi
Nhận biếtCho biểu thức: \(P = \left( {\frac{a}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{a + \sqrt a }}{{a + 3\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tìm các số thực dương \(a\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{a}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{a + \sqrt a }}{{a + 3\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\).
a) Rút gọn biểu thức P:
Điều kiện: \(a > 0.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{a}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{a + \sqrt a }}{{a + 3\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\\ = \left[ {\frac{a}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}} \right].\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{a}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\\ = \frac{{\sqrt a + a}}{{\sqrt a + 2}}.\frac{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a }} = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {2 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a }}\\ = \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {2 - \sqrt a } \right) = - a + \sqrt a + 2.\end{array}\)
b) Tìm các số thực dương \(a\) sao cho \(P\) đạt giác trị lớn nhất.
Điều kiện: \(a > 0.\) Ta có:
\(P = - a + \sqrt a + 2 = - {\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt a - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(Max\,\,P = \frac{9}{4}\) khi \(a = \frac{1}{4}.\)
Chọn D.
