Cho biểu thức P = ( 1 + căn x x + 1 ):( 1 căn x - 1 - 2 căn x x căn x + căn x - x - 1 ) -
Câu hỏi
Nhận biếtCho biểu thức \(P = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x - x - 1}}} \right) - 1.\)
a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) có nghĩa và rút gọn \(P.\)
b) Tìm các giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để biểu thức \(Q = P - \sqrt x \) nhận giá trị nguyên.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) có nghĩa và rút gọn \(P.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x\sqrt x + \sqrt x - x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x - x - 1}}} \right) - 1\\ = \frac{{x + 1 + \sqrt x }}{{x + 1}}:\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right) - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 1 = \frac{{x + \sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}\)
b) Tìm các giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để biểu thức \(Q = P - \sqrt x \) nhận giá trị nguyên.
Điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)
Ta có: \(Q = P - \sqrt x = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x = \frac{{x + 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 3}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x - 1}}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{3}{{\sqrt x - 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x - 1}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 1 = - 3\\\sqrt x - 1 = - 1\\\sqrt x - 1 = 1\\\sqrt x - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 0\\\sqrt x = 2\\\sqrt x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(x = 0,\,\,x = 4\) hoặc \(x = 16\) thì \(Q = P - \sqrt x \) nguyên.
