Cho biểu thức f( x ) = ( m - 1 )x^2 - 2( m + 1 )x + 3( m - 2 ) với m là tham số. Xác định m để f( x
Câu hỏi
Nhận biếtCho biểu thức \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right),\) với \(m\) là tham số. Xác định \(m\) để \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right).\)
TH1: Với \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) ta có: \(f\left( x \right) = - 4x - 3\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow - 4x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{3}{4}\)
\( \Rightarrow m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Với \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) ta có \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai.
\( \Rightarrow f\left( x \right) \le 0\,\,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3{m^2} + 9m - 6 \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\2{m^2} - 11m + 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}.\)
Vậy với \(m \le \frac{1}{2}\) thì \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
Chọn A.