Cho ba số thực xyzthỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=4. Chứng minh rằng:
Câu hỏi
Nhận biếtCho ba số thực \(x,y,z\)thỏa mãn điều kiện \(xy+yz+zx=4\). Chứng minh rằng:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski:
Với 2 bộ số \((x,y,z)\)và \(\left( y,z,x \right)\)ta có: \({{\left( x.y+y.z+z.x \right)}^{2}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\left( x.y+y.z+z.x \right)}^{2}}\le {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}\)
Theo giả thiết \(xy+yz+zx=4\) nên ta có \({{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}\ge 16\) hay \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 4\)(*)
Với 2 bộ số \((1,1,1)\)và \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}},{{z}^{2}} \right)\)ta có: \({{\left( 1.{{x}^{2}}+1.{{y}^{2}}+1.{{z}^{2}} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} \right)\)
Suy ra: \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3}\)
Từ (*), suy ra \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{16}{3}\)
Chọn B.