Cho ba số a,b,cnguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn điều kiện
Câu hỏi
Nhận biếtCho ba số \(a,b,c\)nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\). Chứng minh \(a+b\) là số chính phương
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow c\left( a+b \right)=ab\Leftrightarrow ab-ac-bc=0\)
\(\Leftrightarrow ab-ac-bc+{{c}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a-c \right)\left( b-c \right)={{c}^{2}}\)
Nếu \(d\) là ước nguyên dương của \(a-c\) và \(b-c\) thì \({{c}^{2}}\vdots {{d}^{2}}\Rightarrow c\vdots d\)
Suy ra \(d\) là ước chung của \(a,b,c\). Mà \(a,b,c\) nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên \(d=1\)
Nên \(a-c\) và \(b-c\) không có ước lớn hơn 1, do đó \(\left( a-c \right)\left( b-c \right)\) là số chính phương và \(a-c\), \(b-c\) là hai số chính phương khác nhau.
Đặt \(\left\{ \begin{align} & a-c={{k}^{2}} \\ & b-c={{m}^{2}} \\\end{align} \right.\left( k,m\in N;k\ne m \right)\Rightarrow {{k}^{2}}{{m}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow c=km\)
\(\Rightarrow a+b=\left( a-c \right)+\left( b-c \right)+2c={{k}^{2}}+{{m}^{2}}+2km={{\left( k+m \right)}^{2}}\)
Vậy \(a+b\) là số chính phương
