Cho A(0;4)B(3;2) N thuộc Ox chu vi tam giác ABN nhỏ nhất khi N có tọa độ:
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(A(0;4),\,\,B(3;2)\), N thuộc Ox, chu vi tam giác ABN nhỏ nhất khi N có tọa độ:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Nhận xét: Chu vi tam giác ABN: \({C_{ABN}} = AB + AN + BN\).
Mà độ dài AB không đổi \( \Rightarrow {C_{ABN}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \({\left( {AN + BN} \right)_{\min }}\).
Phương trình đường thẳng Ox: y = 0.
\(A(0;4),\,\,B(3;2)\)
Ta có: \(4.2 > 0 \Rightarrow \) A, B nằm cùng phía so với Ox.
Lấy A’ đối xứng A qua Ox \( \Rightarrow A'(0; - 4)\)
Khi đó, A’ và B nằm khác phía so với Ox và Ox là trung trực của AA’ \( \Rightarrow AN = A'N\)
Ta có: \(AN + BN = A'N + BN \ge BA'\)
\( \Rightarrow {\left( {AN + BN} \right)_{\min }} = BA'\) khi và chỉ khi \(N = BA' \cap Ox\).
Gọi tọa độ của điểm N khi đó là \(\left( {n;0} \right)\)
\(\overrightarrow {A'N} = \left( {n;4} \right),\,\,\overrightarrow {BN} = \left( {n - 3; - 2} \right)\)
A’, N, B thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'N} //\,\overrightarrow {BN} \Leftrightarrow \frac{n}{{n - 3}} = \frac{4}{{ - 2}} \Leftrightarrow - 2n = 4n - 12 \Leftrightarrow n = 2 \Rightarrow N(2;0)\).
Chọn: B