Cho a và b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a+b)^2+a+b2geq 2ac
Câu hỏi
Nhận biếtCho a và b là các số thực dương.
Chứng minh rằng: (a+b)^{2}+ \frac{a+b}{2} \geq 2a \sqrt{b}+2b \sqrt{a}
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với ∀a,b>0, ta có :(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0;(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0=>a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\geq 0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\geq 0=>(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4})+(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4})\geq 0 ∀a,b>0=>a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}>0 (1)
Mặt khác a+b\geq 2\sqrt{ab}>0 (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có :
(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=>(a+b)^{2}+\frac{(a+b)}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
