Cho a b là hai số thực dương thỏa mãn a + b le 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1a^2 + b^2
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \(a + b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng BĐT : \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\\S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} + \frac{{49}}{{2ab}} + ab\\S \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} + \frac{{49}}{{2ab}} + ab\\S \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{17}}{{2ab}} + \frac{{16}}{{ab}} + ab\end{array}\)
Ta có \(2\sqrt {ab} \le a + b \Leftrightarrow ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \le 4 \Rightarrow \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{4}\)
\( \Rightarrow S \ge \frac{1}{4} + \frac{{17}}{{2.4}} + 2\sqrt {\frac{{16}}{{ab}}.ab} = \frac{{83}}{8}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\a = b\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\).
Vậy \({S_{\min }} = \frac{{83}}{8}\), đạt tại \(a = b = 2\).
