Cho a b c là các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện ab + bc + ca = 3 và a ge c. Tìm giá trị nhỏ
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện \(ab + bc + ca = 3\) và \(a \ge c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng bổ đề : \({m^2} + {n^2} + {p^2} \ge mn + np + pm\,\,\,\left( 1 \right);\,\,{\left( {m + n + p} \right)^2} \ge 3\left( {mn + np + pm} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\) (Với m, n, p là các số không âm)
Chứng minh bổ để 1 :
\(\begin{array}{l}{m^2} + {n^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2mn;\,\,{n^2} + {p^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2np;\,\,{p^2} + {m^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2pm\\ \Rightarrow 2\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right) \ge 2\left( {mn + np + pm} \right) \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} \ge mn + np + pm\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = n = p\).
Chứng minh bổ đề 2:
\({\left( {m + n + p} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {p^2} + 2\left( {mn + np + pm} \right) \ge mn + np + pm + 2\left( {mn + np + pm} \right) = 3\left( {mn + np + pm} \right)\)
Đặt \(X = \frac{1}{{a + 1}};\,\,Y = \frac{1}{{b + 1}};\,\,Z = \frac{1}{{c + 1}}\;\;\left( {X,Y,Z > 0} \right)\)
Vì \(a \ge c \Rightarrow Z \ge X \Rightarrow {Z^2} \ge {X^2} \Rightarrow 3{Z^2} = 2{Z^2} + {Z^2} \ge 2{Z^2} + {X^2}\)
\( \Rightarrow P = {X^2} + 2{Y^2} + 3{Z^2} \ge 2\left( {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} \right) \ge 2\left( {XY + YZ + ZX} \right)\) (Áp dụng bổ đề 1).
Áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có \(3 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \le 1 \Leftrightarrow abc \le 1\)
Áp dụng bổ đề 2 ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 3.3 = 9 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\)
\( \Leftrightarrow a + b + c \ge 3abc\)
Do đó
\(\begin{array}{l}XY + YZ + ZX = \frac{1}{{a + 1}}.\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{b + 1}}.\frac{1}{{c + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}.\frac{1}{{a + 1}}\\ = \frac{{c + 1 + a + 1 + b + 1}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} = \frac{{a + b + c + 3}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\\\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = \left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = abc + ac + bc + c + ab + a + b + 1\\ = abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 \le \frac{{a + b + c}}{3} + 3 + a + b + c + 1 \le \frac{4}{3}\left( {a + b + c + 3} \right)\\ \Rightarrow XY + YZ + ZX \ge \frac{{a + b + c + 3}}{{\frac{4}{3}\left( {a + b + c + 3} \right)}} = \frac{3}{4}\\ \Rightarrow P \ge 2.\frac{3}{4} = \frac{3}{2}\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow X = Y = Z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1\).
Chọn C
