Cho a > b > 0 và x = 1 + a 1 + a + a^2 vày = 1 + b 1 + b + b^2. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(a > b > 0\) và \(x = {{1 + a} \over {1 + a + {a^2}}}\) và\(y = {{1 + b} \over {1 + b + {b^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét hiệu
\(\begin{array}{l}x - y = \frac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}} - \frac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\\ = \frac{{1 + b + {b^2} + a + ab + a{b^2} - 1 - a - {a^2} - b - ab - {a^2}b}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\ = \frac{{{b^2} + a{b^2} - {a^2} - {a^2}b}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + ab\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {a + b + ab} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\end{array}\)
Ta có \(a > b > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - a < 0\\a + b + ab > 0\end{array} \right.\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + a + {a^2} = {\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall a\\1 + b + {b^2} = {\left( {b + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall b\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow x - y < 0\,\,\,\,\forall a > b > 0 \Leftrightarrow x < y\).
Chọn C.