Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam
Câu hỏi
Nhận biếtCho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho.
Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673.
Tô xanh các đoạn thẳng còn lại thì mỗi tam giác có ít nhất 1 cạnh tô màu đỏ .
Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam giác có 3 cạnh đều tô màu đỏ.
+) Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho.
Từ 1 điểm A đến các đoạn thẳng còn lại tạo thành 5 đoạn thẳng được tô bởi 2 màu xanh, đỏ nên tồn tại 3 cạnh cùng màu.
Giả sử đó là \(AB;AC;AD\).
Nếu \(AB;AC;AD\) tô màu đỏ thì tam giác \(BCD\) phải có 1 cạnh tô màu đỏ, chẳng hạn \(BC\) thì tam giác \(ABC\)có 3 cạnh tô màu đỏ.
Nếu \(AB;AC;AD\) tô màu xanh, do mỗi tam giác phải có ít nhất 1 cạnh tô màu đỏ nên \(BC;BD;CD\) tô đỏ và tam giác \(BCD\) có 3 cạnh tô màu đỏ.
Suy ra 6 điểm này luôn tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh đều đỏ.
+) Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự suy ra tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh màu đỏ.
Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại 2 tam giác có 3 cạnh đều màu đỏ.
Suy ra có ít nhất 2 tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019.
