Cho ∆ ABC( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) đường kính BC, điểm D t
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính BC, điểm D thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với OC tại D cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.
a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \(\angle CAD = \angle CFD\)
c) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
d) Cho \(AB = 6cm,\,\,\angle ACB = {30^o}.\) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính BC
\( \Rightarrow \angle BAC = \angle BAE = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có : \(DE \bot BC\) tại D \( \Rightarrow \angle BDE = {90^o}\)
Tứ giác ABDE có: \(\angle BAE + \angle BDE = {180^o}\)
\( \Rightarrow \) ABDE là tứ giác nội tiếp. (dhnb).
b) Chứng minh rằng \(\angle CAD = \angle CFD\)
Ta có \(\angle AFD + \angle ABO = {90^o}\) (\(\Delta BFD\) vuông tại D )
\(\angle ACD + \angle ABO = {90^o}\) (\(\Delta BAC\) vuông tại A )
\( \Rightarrow \angle AFD = \angle ACD\) (cùng phụ \(\angle ABO\))
\( \Rightarrow ADCF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle CAD = \angle CFD\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)
c) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
Ta có \(OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA\) (1)
Ta có M là trung điểm của EF, \(\Delta EAF\) vuông tại A
\( \Rightarrow MA = ME = MF\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \Delta MAF\) cân tại M \( \Rightarrow \angle MAF = \angle MFA\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle MAF + \angle OAB = \angle MFA + \angle OBA = {90^o}\) (\(\Delta BFD\) vuông tại D)
\( \Rightarrow \angle OAM = {180^o} - \left( {\angle MAF + \angle OAB} \right) = {90^o} \Rightarrow MA \bot OA\)
Kết hợp \(A \in \left( O \right) \Rightarrow \) AM là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\). (đpcm)
d) Cho \(AB = 6cm,\,\,\angle ACB = {30^o}.\) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB .
Ta có: \(\angle ACB = {30^o} \Rightarrow \angle AOB = {60^o}\) (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
Mà \(\Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \Delta OAB\) đều
\( \Rightarrow OA = OB = AB = 6cm\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle AOB = {60^o} \Rightarrow \,\,sd\,\,cung\,\,AB = \angle AOB = {60^o}\)
Diện tích hình quạt OAB là: \({S_1} = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}} = \frac{{\pi {{.6}^2}{{.60}^o}}}{{{{360}^o}}} = 6\pi \,\,(c{m^2})\)
Diện tích tam giác OAB là: \({S_2} = \frac{{O{A^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \,\,(c{m^2})\)
\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB là: \(S = {S_1} - {S_2} = 6\pi - 9\sqrt 3 \,\,(c{m^2})\)
