căn x - 2 + căn 4 - x = 2x^2 - 5x - 1
Câu hỏi
Nhận biết\(\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 5x - 1\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\)
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right) + \left( {\sqrt {4 - x} - 1} \right) = 2{x^2} - 5x - 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \frac{{\left( {\sqrt {4 - x} - 1} \right)\left( {\sqrt {4 - x} + 1} \right)}}{{\sqrt {4 - x} + 1}} - \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \frac{{3 - x}}{{\sqrt {4 - x} + 1}} - \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {\frac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\,(tm)\\\frac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} - \left( {2x + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có với \(2 \le x \le 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} < 1\\2x + 1 \ge 2.2 + 1 = 5\\\frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} - \left( {2x + 1} \right) < 1 - 0 - 5 = - 4 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm
\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)
Chọn D.