Bất phương trình 2( căn x+3+ căn 10-x )- căn 30+7x-x^2ge 4 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?
Câu hỏi
Nhận biếtBất phương trình \(2\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{10-x} \right)-\sqrt{30+7x-{{x}^{2}}}\ge 4\) có bao nhiêu nghiệm nguyên ?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(30+7x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ -\,3;10 \right].\)
Đặt \(t=\sqrt{x+3}+\sqrt{10-x}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=13+2\sqrt{30+7x-{{x}^{2}}}\)
Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: \(2t-\frac{{{t}^{2}}-13}{2}\ge 4\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t-5\le 0\Leftrightarrow -\,1\le t\le 5.\)
Kết hợp điều kiện: \(t\ge 0,\) ta được \(\sqrt{x+3}+\sqrt{10-x}\le 5\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} -\,3\le x\le 10 \\ 13+2\sqrt{30+7x-{{x}^{2}}}\le 25 \\ \end{align} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 10\\\sqrt {30 + 7x - {x^2}} \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 10\\{x^2} - 7x + 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 10\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 \le x \le 10\\ - 3 \le x \le 1\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 6;10 \right]\cup \left[ -\,3;1 \right]\) chứa 10 nghiệm nguyên.
Chọn D