a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y=x^2 và y=x-m cắt nhau tại
Câu hỏi
Nhận biếta) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}} \) và \(y=x-m \) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A \left( {{x}_{1}}; \ {{y}_{1}} \right), \ \ B \left( {{x}_{2}}; \ {{y}_{2}} \right) \) sao cho \({{ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{8}}+{{ \left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{8}}=162. \)
b) Tìm các giá trị nguyên của x để \(M={{x}^{4}}+{{ \left( x+1 \right)}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x \) là số chính phương.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({{x}^{2}}=x-m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m=0.\ \ \ \left( * \right)\)
Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 1-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}.\)
Gọi \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Khi đó ta có: \({{y}_{1}}={{x}_{1}}-m,\ \ {{y}_{2}}={{x}_{2}}-m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\ \end{align} \right..\)
Theo đề bài ta có: \({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{8}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{8}}=162\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^8} + {\left( {{x_1} - m - {x_2} + m} \right)^8} = 162\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^8} = 81 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^8}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = \sqrt 3 \\
{x_1} - {x_2} = - \sqrt 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2} + \sqrt 3 \\
{x_1} = {x_2} - \sqrt 3
\end{array} \right..
\end{array}\)
+) Với \({{x}_{1}}={{x}_{2}}+\sqrt{3}\Rightarrow 2{{x}_{2}}+\sqrt{3}=1\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}.\)
\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\ \ \left( tm \right).\)
+) Với \({{x}_{1}}={{x}_{2}}-\sqrt{3}\Rightarrow 2{{x}_{2}}-\sqrt{3}=1\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.\)
\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\ \ \left( tm \right).\)
Vậy \(m=-\frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
b) Ta có: \(M={{x}^{4}}+{{\left( x+1 \right)}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x\)
\(\begin{align} & M={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1-2{{x}^{2}}-2x \\ & M={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1. \\ & \Rightarrow 4M=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+4. \\ \end{align}\)
+) Ta có: \({{\left( 2{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}\le 4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}+{{\left( x+2 \right)}^{2}}=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+4=4M.\)
Ta thấy dấu “=” không thể xảy ra nên \({{\left( 2{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}<4M.\ \ \ \left( 1 \right)\)
+) Với \(x=0\Rightarrow 4M=4\Leftrightarrow M=1\Rightarrow M\) là số chính phương.
Với \(x=1\Rightarrow 4M=20\Leftrightarrow M=5\Rightarrow M\) không là số chính phương.
Với \(x=2\Rightarrow 4M=124\Leftrightarrow M=31\Rightarrow M\) không là số chính phương.
Với \(x\ne \left\{ 0;\ 1;\ 2 \right\}\) ta có
\(\left[ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 2\\
x - 1 \le - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \le - 1
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 4 \Rightarrow 4 - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\)
Có : \(4M=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+4\)
\(\begin{align} & =4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+2x+1-{{x}^{2}}+2x+3 \\ & ={{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4 \\ & \Rightarrow 4M\le {{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align}\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}<4M\le {{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\) . Mà \(x\in Z\Rightarrow 4M={{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 2\\
x - 1 = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = - 1
\end{array} \right.\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là : \(x=0;\,\,x=-1;\,\,x=3\)
Chọn A
