a) Cho sin alpha = 23;alpha in ( pi 2;pi ). Tính cos ( alpha + pi 4 ) b) Chứng minh rằng tan (
Câu hỏi
Nhận biếta) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\)
b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Ta có: \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha < 0\)
\(\sin \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
\(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt {10} + 2\sqrt 2 }}{6}\)
b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.
\(\begin{array}{l}VT = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\VP = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\\\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\ \Rightarrow VT = VP\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Chọn A.