a) Cho cos alpha = 45270^o < alpha < 360^o. Tính sin alpha cot alpha . b) Chứng minh rằng ( sin x
Câu hỏi
Nhận biếta) Cho \(\cos \alpha = \frac{4}{5},\,\,{270^o} < \alpha < {360^o}\). Tính \(\sin \alpha ,\cot \alpha \).
b) Chứng minh rằng \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x\) (các điều kiện của \(x\) đã được thỏa mãn)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Cho \(\cos \alpha = \frac{4}{5},\,\,{270^o} < \alpha < {360^o}\). Tính \(\sin \alpha ,\cot \alpha \).
Ta có: \({270^o} < \alpha < {360^o} \Rightarrow \sin \alpha < 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}} = - \sqrt {\frac{9}{{25}}} = - \frac{3}{5}\\ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{4}{3}.\end{array}\)
b) Chứng minh rằng \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x\) (các điều kiện của x đã được thỏa mãn)
\(\begin{array}{l}VT = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x\cos x}} = \frac{{1 + 2\sin x\cos x - 1}}{{\cos x\left( {\frac{1}{{\sin x}} - \sin x} \right)}}\\ = \frac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x.\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{\sin x}}}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x = VP\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Vậy \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x.\)
Chọn A.