(1 điểm) Biểu diễn mỗi vectơ rightarrow AB ;rightarrow ED theo
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm D, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \(AD = 3DC,\,\,EC = 2BE\)
a) (1 điểm) Biểu diễn mỗi vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\,\,\overrightarrow {ED} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \)
b) (0,5 điểm) Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MD} } \right|\).
c) (0,5 điểm) Với k là số thực tùy ý, lấy các điểm P, Q sao cho \(\overrightarrow {AP} = k\overrightarrow {AD} ;\,\,\overrightarrow {BQ} = k\overrightarrow {BE} .\) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng PQ luôn thuộc một|\). đường thẳng cố định khi k thay đổi.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \\ \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CD} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow b - \frac{1}{4}\overrightarrow a \hfill \\ \end{gathered} \)
b) Gọi I là trung điểm của AE ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {ME} = 2\overrightarrow {MI} \)
\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| \Rightarrow 2MI = BD \Rightarrow MI = \frac{{BD}}{2}\)
Do B, D cố định \( \Rightarrow BD\) không đổi \( \Rightarrow \frac{{BD}}{2}\) không đổi.
A, E cố định \( \Rightarrow \) I cố định.
Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính \(\frac{{BD}}{2}\).
c) Khi \(k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow P \equiv D \hfill \\ \overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BE} \Rightarrow Q \equiv E \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow PQ \equiv DE \Rightarrow \) Trung điểm của PQ trùng với trung điểm của DE.
Khi \(k = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AP} = \overrightarrow 0 \Rightarrow P \equiv A \hfill \\ \overrightarrow {BQ} = \overrightarrow 0 \Rightarrow Q \equiv B \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow PQ \equiv AB \Rightarrow \) Trung điểm của PQ trùng với trung điểm của AB.
Do AB, DE cố định \( \Rightarrow \) Trung điểm của AB và DE cố định \( \Rightarrow \) Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và DE cố định.
Vậy khi k thay đổi thì trung điểm của PQ luôn thuộc đường thẳng cố định đi qua trung điểm của AB và DE.