Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải {} bài tập có đáp án

Phương pháp giải: bài toán viết pttt tại 1 điểm

Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\in \left( C \right)$ là

$y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$.

Trong đó ${{x}_{0}}$ được gọi là hoành độ tiếp điểm: ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ là tung độ tiếp điểm và $k={f}'\left( {{x}_{0}} \right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ được gọi là tiếp điểm.

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có đáp án

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}+3\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=6$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến tại $A\left( 1;4 \right)$ là $y=6\left( x-1 \right)+4=6\text{x}-2$

b) Với $x={{x}_{0}}=-1\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=-4\Rightarrow {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=6$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là $y=6\left( x+1 \right)-4=6x+2$

c) Với ${{y}_{0}}=14\Rightarrow {{x}^{3}}+3x=14\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2;{f}'\left( 2 \right)=15$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=15\left( x-2 \right)+14=15x-16$

d) Hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là ${{x}^{3}}+3\text{x}=3x-8\Leftrightarrow x=-2$

Với $x=-2\Rightarrow y=-14\Rightarrow {f}'\left( -2 \right)=15$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=15\left( x+2 \right)-14=15x+16$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=\frac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}$

a) Ta có: ${{y}_{0}}=3\Rightarrow \frac{x-2}{2x+1}=3\Leftrightarrow 5\text{x}=-5\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=5$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left( x+1 \right)+3$ hay $y=5x+8$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left( C \right)$ là: $\frac{x-2}{2x+1}=x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=0 \\ \end{array} \right.$

Với ${{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=0;{y}'\left( 2 \right)=\frac{1}{5}$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$.

Với ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-2;{y}'\left( 0 \right)=5$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=5x-2$.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1;{f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=-1$

Do vậy PTTT là: $y=-\left( x-1 \right)-1=-x$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

$\left( C \right)\cap Oy=A\left( 0;-1 \right)$. Lại có ${y}'=\frac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( 0 \right)=-3$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-1$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Với $x=2\Rightarrow y=1$. Lại có ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\Rightarrow {f}'\left( 2 \right)=\frac{3}{4}$

Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{3}{4}\left( x-2 \right)+1=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8x\Rightarrow {{f}'}'\left( x \right)=6x-8$.

Giải ${{f}'}'\left( x \right)=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=-7;{f}'\left( 2 \right)=-4$

Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-2 \right)-7=-4x+1$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$. Mặt khác ${y}'=4{{x}^{3}}-8x\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=4$

Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y=4\left( x+1 \right)-1=4x+3$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( C \right)\cap Ox=A\left( 2;0 \right)$. Mặt khác ${f}'\left( x \right)=\frac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( 2 \right)=\frac{1}{5}$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( 2;0 \right)$là: $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=1\Rightarrow y=0;{f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=3$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=3\left( x-1 \right)\left( d \right)$

Xét $d\cap \left( C \right)\Rightarrow 2{{x}^{3}}-3x+1=3\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Giải $\frac{2x-1}{x+2}=-3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x\ne -2 \\{} 2x-1=-3x-6 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$. Lại có ${f}'\left( x \right)=\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( -1 \right)=5$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left( x+1 \right)-3=5x+2$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=-1;y=3;{y}'\left( -1 \right)=-4$. Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x+1 \right)+3=-4x-1\left( d \right)$.

Do đó $d\cap Ox=A\left( \frac{-1}{4};0 \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $x=1\Rightarrow y=0;{f}'\left( 1 \right)=8-6=2$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=2\left( x-1 \right)\left( d \right)$.

Do đó $d:2\text{x}-y-2=0$ suy ra $d\left( 0;d \right)=\frac{\left| -2 \right|}{5}$. Chọn A.

Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là: $d=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.

Lời giải chi tiết

Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1+m;{f}'\left( 1 \right)=3+m$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=\left( m+3 \right)\left( x-1 \right)+m+1\left( d \right)$

$d\left( O;d \right)=\frac{\left| -m-3+m+1 \right|}{\sqrt{{{\left( m+3 \right)}^{2}}+1}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}+1=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=-4 \\  {} m=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.