Cho hai đồ thị của hai hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ và hai đường thẳng $x=a;x=b\left( a<b \right)$. Khi đó hình phẳng giới hạn bởi bốn đường $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x=a;x=b$ có diện tích S được tính theo công thức: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|d\text{x}}$.
Đặc biệt: Trong trường hợp $g\left( x \right)$ là trục hoành ($g\left( x \right)=0$) ta được công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là:
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|d\text{x}}$ (1).
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ a;b \right]$ thì $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}$.
Nếu $f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ a;b \right]$ thì $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{\left( -f\left( x \right) \right)d\text{x}}$.
Muốn xét dấu của biểu thức $f\left( x \right)$ ta thường có một số cách làm như sau:
@ Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho $f\left( x \right)$ với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ $f\left( x \right)$ đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn $f\left( x \right)$ không đổi dấu.
@ Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]$ để suy ra dấu của $f\left( x \right)$ trên đoạn đó:
- Nếu trên đoạn $\left[ a;b \right]$ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nằm phía trên trục hoành thì $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ a;b \right]$.
- Nếu trên đoạn $\left[ a;b \right]$ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nằm phía dưới trục hoành thì $f\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ a;b \right]$.
@ Cách 3: Nếu $f\left( x \right)$ không đổi dấu trên $\left[ a;b \right]$ thì ta có: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|d\text{x}}=\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|$.
@ Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, tuy nhiên xu hướng ra đề thi THPT Quốc gia sẽ hạn chế CASIO nên cần chú ý cách giải tổng quát và hiểu rõ bản chất!
Chú ý:
- Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ta có:
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| h\left( x \right) \right|d\text{x}}$ ta làm hoàn toàn tương tự như trên.
- Nếu đề bài không cho các đường thẳng giới hạn $x=a;x=b$ ta giải phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ (hoặc $f\left( x \right)=0$ trong trường hợp $g\left( x \right)$ là trục hoành) để tìm cận của tích phân.
Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}\left( r>0 \right)$. Khi đó hình tròn đó có diện tích là: $S=\pi {{r}^{2}}$.
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Với $y\ge 0$, ta có: $y=\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}$ có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
Bằng cách đặt $x=r\sin t$ ta có diện tích ${{S}_{1}}=\int\limits_{-r}^{r}{\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}=2\int\limits_{0}^{r}{\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}=\frac{\pi {{r}^{2}}}{2}$.
Do đó $S=2{{\text{S}}_{1}}=\pi {{r}^{2}}$.
Trong hệ tọa độ Oxy cho elip có phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,0<b<a$.
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: $S=\pi ab$ (đvdt).
TOÁN LỚP 12