Tọa độ, vectơ trong không gian là gì? Lý thuyết oxyz

Tọa độ, vectơ trong không gian là gì? Lý thuyết oxyz

1) Định nghĩa:

Nếu $\overrightarrow{u}=\left( x;y;z \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$

2) Các công thức về vectơ

Cho 2 vectơ: $\overrightarrow{u}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)$ và $\overrightarrow{v}=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)$ ta có:

Tổng và hiệu của hai vectơ: $\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v}=\left( {{x}_{1}}\pm {{x}_{2}};{{y}_{1}}\pm {{y}_{2}};{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}} \right)$.

Tích của một vectơ với một số: $k\overrightarrow{u}=\left( k{{\text{x}}_{1}};k{{y}_{1}};k{{z}_{1}} \right)\,\,\left( k\in \mathbb{R} \right)$.

Hai vectơ bằng nhau: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\text{x}}_{1}}={{x}_{2}} \\  {} {{y}_{1}}={{y}_{2}} \\  {} {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\ \end{array} \right.$.

Chú ý: $\overrightarrow{0}=\left( 0;0;0 \right);\,\,\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right);\,\,\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right);\,\,\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.

Hai vectơ $\overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v}$ cùng phương với nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\,\,\,\left( k\ne 0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}=k{{\text{x}}_{2}} \\  {} {{y}_{2}}=k{{y}_{2}} \\  {} {{z}_{1}}=k{{z}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\frac{{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}.$

(Với $k>0$ thì $\overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v}$ cùng hướng; ngược lại $k<0$ thì $\overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v}$ ngược hướng)

Tích vô hướng của 2 vectơ kí hiệu: $\overrightarrow{u}\,.\overrightarrow{v}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=$ hằng số.

$\Rightarrow$Hai vectơ $\overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0$

Độ dài vectơ: $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}},\,\,\left| \overrightarrow{v} \right|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}.$

Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\text{x}}_{B}}-{{x}_{A}}=k.\left( {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right) \\  {} {{y}_{B}}-{{y}_{A}}=k.\left( {{y}_{C}}-{{y}_{A}} \right) \\  {} {{z}_{B}}-{{z}_{A}}=k.\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right) \\ \end{array} \right..$

Góc giữa 2 vectơ: $\cos \left( \overrightarrow{u}\,;\,\,\overrightarrow{v} \right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|}=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}$ (với $\overrightarrow{u}\,;\,\,\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$).

Chú ý: Khi $\overrightarrow{u}\,.\,\overrightarrow{v}>0$ thì $\cos \left( \overrightarrow{u}\,;\,\,\overrightarrow{v} \right)>0\Rightarrow \left( \overrightarrow{u}\,;\,\,\overrightarrow{v} \right)$ là góc nhọn, ngược lại nếu $\overrightarrow{u}\,.\,\overrightarrow{v}<0$ thì $\cos \left( \overrightarrow{u}\,;\,\,\overrightarrow{v} \right)<0\Rightarrow \left( \overrightarrow{u}\,;\,\,\overrightarrow{v} \right)$ là góc tù.