Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao - Tự Học 365

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Xét bài toán khoảng cách trong không gian.

Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên (SHB).

Kẻ AHHB ta có:

{AKHBAKSHAK(SHB)

Suy ra d(A;(SHB))=AK.

Cách tính:

Ta có: d(A;(SHB))=AK=2SAHBHB

=ABsin^ABK=AH.sin^AHK.

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có AB=3a,BC=2a,^ABC=60. Biết SA(ABC).

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAB).

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

Lời giải chi tiết

a) Dựng CHAB ta có: {CHABCHSACH(SAB)

Do đó

d(C;(SAB))=CH=CBsin^ABH=2asin60=a3.

b) Dựng CKACCK(SAC).

Ta có: d(B;(SAC))=CH=2SABCAC=AB.BCsin^ABCAC

Trong đó AC2=AB2+BC22BA.BCcosˆB

AC=a7d(B;(SAC))=3a.2a.sin60a7=3a217.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với B=a,AD=a3. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SHD).

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SHC).

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác SAB cân tại S nên SHAB.

Ta có: HA=HD=a2.

Mặt khác (SAB)(ABCD)SH(ABCD).

Dựng AEDHAE(SHD)d(A;(SHD))=AE.

Mặt khác AE=AH.ADAH2+AD2=a3913.

b) Dựng DKCHd(D;(SHC))=DK.

Ta có: CH=HB2+BC2=a132, SHCD=12CD.d(H;CD)=12.a.a3=a232.

Do đó d(D;(SHC))=2SHCDCH=2a3913.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD=3a, AB=BC=2a. Biết SA(ABCD).

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAD).

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAC).

Lời giải chi tiết

a) Dựng CEADCE(SAD).

Khi đó d(C;(SAD))=CE, do ABCE là hình vuông cạnh 2a nên CE=AE=2ad(C;(SAD))=2a.

b) Dựng DHACDH(SAC).

Khi đó d(D;(SAC))=DH.

Ta có: ABCE là hình vuông nên ^CAD=45.

Do đó DH=ADsin45=3a.22=3a22.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAC).

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SHD).

Lời giải chi tiết

a) Do H là trọng tâm tam giác ABD HAC.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD BOAC.

Mặt khác BOSHBO(SAC)

Khi đó d(B;(SAC))=BO=5a22.

b) Dựng CKHDCK(SHD)d(C;(SHD))=CK.

Gọi I là trung điểm của AB thì H=DIAO.

Khi đó: CK=2SICDDI=2.12SABCDDI=25a2DA2+AI2=25a225a2+(5a2)2=2a5.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh a, với AB=2a. Biết SA(ABCD) và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60.

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAB).

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAC).

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AB=2a.

Dựng CHABCH(SAB)d(C;(SAB))=CH.

Mặt khác ^ABC=60CH=BCsin60=a32.

Vậy d(C;(SAB))=a32.

b) Dựng DKACDK(SAC)d(D;(SAC))=DK.

Do ^DCB=120,^ACB=90^ACD=30DK=CDsin^DCK=asin30=a2.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, AB=2,BC=2. Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng (SBD)(SAM) cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SAM).

Lời giải chi tiết

Ta có SABCD=2SΔABC=2SΔMAB=2SΔABC=SΔMAB=1.

SΔABC=12.AB.BC.sin^ABC=1sin^ABC=12.

Do đó ^ABC=45^ADM=45.

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có:

AM=AD2+DM22.AD.DM.cos^ADM=102

Gọi H là giao điểm của AM và BD SH(ABCD).

Kẻ BK vuông góc với AM, KAMBKAM (1).

Ta có (SAM)(SBD)=SHSH(ABCD)SHBK (2).

Từ (1),(2)BK(SAM)d(B;(SAM))=BK.

Mặt khác SΔMAB=12.BK.AMBK=2.SΔMABAM=410=2105.

Bài tập 7: Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC=BD=2a. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (AAB) tạo với đáy một góc 60. Tính khoảng cách d(B;(ABD)).

Lời giải chi tiết

Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD

HA=HCAHBD (Do ΔABD cân tại A’).

Do (ABD)(ABCD)AH(ABCD).

Ta có: AH=12BD=a (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Dựng HMABAB(AHM)AMH=60

+) Khi đó: HMtan60=AHHM=a3

AD=2HM=2a3AB=2a23

Do: AD//BCBC//(ABD)d(B;(ABD))=d(C;(ABD)).

Ta có: CE=CD.CBBD=2a23. Vậy d(B;(ABD))=2a23.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12