Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên (SHB).
Kẻ AH⊥HB ta có:
{AK⊥HBAK⊥SH⇒AK⊥(SHB)
Suy ra d(A;(SHB))=AK.
Ta có: d(A;(SHB))=AK=2SAHBHB
=ABsin^ABK=AH.sin^AHK.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có AB=3a,BC=2a,^ABC=60∘. Biết SA⊥(ABC).
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). |
Lời giải chi tiết
a) Dựng CH⊥AB ta có: {CH⊥ABCH⊥SA⇒CH⊥(SAB)
Do đó
d(C;(SAB))=CH=CBsin^ABH=2asin60∘=a√3.
b) Dựng CK⊥AC⇒CK⊥(SAC).
Ta có: d(B;(SAC))=CH=2SABCAC=AB.BCsin^ABCAC
Trong đó AC2=AB2+BC2−2BA.BCcosˆB
⇒AC=a√7⇒d(B;(SAC))=3a.2a.sin60∘a√7=3a√217.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với B=a,AD=a√3. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SHD). b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC). |
Lời giải chi tiết
a) Do tam giác SAB cân tại S nên SH⊥AB.
Ta có: HA=HD=a2.
Mặt khác (SAB)⊥(ABCD)⇒SH⊥(ABCD).
Dựng AE⊥DH⇒AE⊥(SHD)⇒d(A;(SHD))=AE.
Mặt khác AE=AH.AD√AH2+AD2=a√3913.
b) Dựng DK⊥CH⇒d(D;(SHC))=DK.
Ta có: CH=√HB2+BC2=a√132, SHCD=12CD.d(H;CD)=12.a.a√3=a2√32.
Do đó d(D;(SHC))=2SHCDCH=2a√3913.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD=3a, AB=BC=2a. Biết SA⊥(ABCD).
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD). b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC). |
Lời giải chi tiết
a) Dựng CE⊥AD⇒CE⊥(SAD).
Khi đó d(C;(SAD))=CE, do ABCE là hình vuông cạnh 2a nên CE=AE=2a⇒d(C;(SAD))=2a.
b) Dựng DH⊥AC⇒DH⊥(SAC).
Khi đó d(D;(SAC))=DH.
Ta có: ABCE là hình vuông nên ^CAD=45∘.
Do đó DH=ADsin45∘=3a.√22=3a√22.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD). |
Lời giải chi tiết
a) Do H là trọng tâm tam giác ABD ⇒H∈AC.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒BO⊥AC.
Mặt khác BO⊥SH⇒BO⊥(SAC)
Khi đó d(B;(SAC))=BO=5a√22.
b) Dựng CK⊥HD⇒CK⊥(SHD)⇒d(C;(SHD))=CK.
Gọi I là trung điểm của AB thì H=DI∩AO.
Khi đó: CK=2SICDDI=2.12SABCDDI=25a2√DA2+AI2=25a2√25a2+(5a2)2=2a√5.
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh a, với AB=2a. Biết SA⊥(ABCD) và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60∘.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC). |
Lời giải chi tiết
a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AB=2a.
Dựng CH⊥AB⇒CH⊥(SAB)⇒d(C;(SAB))=CH.
Mặt khác ^ABC=60∘⇒CH=BCsin60∘=a√32.
Vậy d(C;(SAB))=a√32.
b) Dựng DK⊥AC⇒DK⊥(SAC)⇒d(D;(SAC))=DK.
Do ^DCB=120∘,^ACB=90∘⇒^ACD=30∘⇒DK=CDsin^DCK=asin30∘=a2.
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, AB=√2,BC=2. Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAM). |
Lời giải chi tiết
Ta có SABCD=2SΔABC=2SΔMAB=2⇒SΔABC=SΔMAB=1.
⇒SΔABC=12.AB.BC.sin^ABC=1⇒sin^ABC=1√2.
Do đó ^ABC=45∘⇒^ADM=45∘.
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có:
AM=√AD2+DM2−2.AD.DM.cos^ADM=√102
Gọi H là giao điểm của AM và BD ⇒SH⊥(ABCD).
Kẻ BK vuông góc với AM, K∈AM⇒BK⊥AM (1).
Ta có (SAM)∩(SBD)=SH⇒SH⊥(ABCD)⇒SH⊥BK (2).
Từ (1),(2)⇒BK⊥(SAM)⇒d(B;(SAM))=BK.
Mặt khác SΔMAB=12.BK.AM⇒BK=2.SΔMABAM=4√10=2√105.
Bài tập 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC=BD=2a. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (A′AB) tạo với đáy một góc 60∘. Tính khoảng cách d(B′;(A′BD)). |
Lời giải chi tiết
Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD
⇒HA=HC⇒A′H⊥BD (Do ΔA′BD cân tại A’).
Do (A′BD)⊥(ABCD)⇒A′H⊥(ABCD).
Ta có: A′H=12BD=a (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Dựng HM⊥AB⇒AB⊥(A′HM)⇒⌢A′MH=60∘
+) Khi đó: HMtan60∘=A′H⇒HM=a√3
⇒AD=2HM=2a√3⇒AB=2a√23
Do: A′D//B′C⇒B′C//(A′BD)⇒d(B′;(A′BD))=d(C;(A′BD)).
Ta có: CE=CD.CBBD=2a√23. Vậy d(B′;(A′BD))=2a√23.
TOÁN LỚP 12