Tính đơn điệu của hàm số hợp (nâng cao) – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Tính đơn điệu của hàm số hợp (nâng cao) – Cách giải và bài tập có đáp

 Loại 1: Đổi biến số

Xét bài toán: Tìm m để hàm số $y=f\left[ u\left( x \right) \right]$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $D=\left( a;b \right)$.

Phương pháp giải tính đơn điệu của hàm số nâng cao

Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt $t=u\left( x \right)\Rightarrow {t}'={u}'\left( x \right),\left\{ \begin{array}  {} x=a\Rightarrow t=u\left( a \right) \\  {} x=b\Rightarrow t=u\left( b \right) \\ \end{array} \right.$

 Nếu ${t}'={u}'\left( x \right)>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)$ thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng (nghịch) biến trên ${{D}_{t}}=\left( u\left( a \right);u\left( b \right) \right)$.

 Nếu ${t}'={u}'\left( x \right)<0\text{ }\left( \forall x\in D \right)$ thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số $y=f\left( t \right)$ nghịch (đồng) biến trên ${{D}_{t}}=\left( u\left( a \right);u\left( b \right) \right)$.

Cách 2: Tính trực tiếp đạo hàm. Chú ý công thức đạo hàm của hàm hợp: ${y}'={f}'\left( u \right).{u}'\left( x \right)$.

Bài tập đồng biến nghịch biến của hàm số nâng cao có đáp án

Bài tập 1: [Đề minh họa Bộ GD{}ĐT năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y=\frac{\tan x-1}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$. A. $\left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\\end{array} \right.$. B. $m\le 0$. C. $1\le m<2$. D. $m\ge 2$.

Lời giải

Cách 1: ĐK:  $\tan x\ne m$.

Khi đó ${y}'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \tan x\ne m \\  {} \frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0 \\ \end{array} \right.\left( \forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \right)$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} m\ge 1 \\ \end{array} \right. \\  {} -m+2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Cách 2: [Đặt ẩn phụ] Đặt $t=\tan x\Rightarrow {t}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \right)$; với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$.

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số $f\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne t \\  {} {f}'\left( t \right)=\frac{-m+2}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}>0\left( \forall t\in \left( 0;1 \right) \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right. \\  {} m<2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{m\cos x-2}{2\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right)$. A. $-2<m\le 0$ hoặc $1\le m<2$. B. $1\le m<2$. C. $-2<m\le 0$. D. $m\ge 2$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{-{{m}^{2}}+4}{{{\left( 2\cos x-m \right)}^{2}}}.\left( -\sin x \right)=\frac{\left( {{m}^{2}}-4 \right)\sin x}{{{\left( 2\cos x-m \right)}^{2}}}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\left( \forall x\in \left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right) \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}-4<0 \\  {} 2\cos x\ne m\text{ }\left( \forall x\in \left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right) \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2<m<2 \\  {} m\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2<m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{\cos x-2}{\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};0 \right)$. A. $m\le 0$ hoặc $1\le m<2$. B. $m\le 0$. C. $1\le m<2$ D. $m\ge 2$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{-m+2}{{{\left( m\cos x-1 \right)}^{2}}}.\sin x$. Do đó $\sin x<0\left( \forall x\in \left( \frac{-\pi }{2};0 \right) \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( \frac{-\pi }{2};0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -m+2>0 \\  {} m\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<2 \\  {} \left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{2\cos x+3}{2\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{3} \right)$. A. $m>-3$. B. $\left[ \begin{array}  {} m\le -3 \\  {} m\ge 2 \\ \end{array} \right.$. C. $m<-3$. D. $\left[ \begin{array}  {} -3<m\le 1 \\  {} m\ge 2 \\ \end{array} \right.$.

Lời giải

Ta có: ${y}'={{\left( \frac{2\cos x+3}{2\cos x-m} \right)}^{\prime }}=\frac{\left( 2m+6 \right)\sin x}{{{\left( 2\cos x-m \right)}^{2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {y}'<0 \\  {} x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( 2m+6 \right)\sin x<0 \\  {} x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 2m+6<0\Leftrightarrow m<-3$.Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} 2\cos x-m\ne 0 \\  {} x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne 2\cos x \\  {} \cos x\in \left( -\frac{1}{2};1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\notin \left( -1;2 \right)\Rightarrow m<-3$. Chọn C.

Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{\cot x-1}{m\cot x-1}$ đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)$. A. $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$.  B. $m\in \left( 1;+\infty  \right)$. C. $m\in \left( -\infty ;0 \right)$.              D. $m\in \left( -\infty ;1 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{-1+m}{{{\left( m\cot x-1 \right)}^{2}}}.\left( -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)$

+ Với $m=0\Rightarrow y=1-\cot x\Rightarrow {y}'=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}>0\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)$.

+ Với $m\ne 0$, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {y}'>0 \\  {} \cot x\ne \frac{1}{m} \\ \end{array} \right.\left( \forall x\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right) \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-m>0 \\  {} \frac{1}{m}\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<1 \\  {} \left[ \begin{array}  {} \frac{1}{m}\le 0 \\  {} \frac{1}{m}\ge 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<1 \\  {} m\ne 0 \\ \end{array} \right.$.

Kết hợp 2 trường hợp suy ra $m<1$ là giá trị cần tìm. Chọn D.

Bài tập 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số  $y=\frac{m{{\sin }^{2}}x-16}{{{\cos }^{2}}x+m-1}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$. A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.

Lời giải

Ta có: $y=\frac{m{{\sin }^{2}}x-16}{{{\cos }^{2}}x+m-1}=\frac{m{{\sin }^{2}}x-16}{-{{\sin }^{2}}x+m}\text{ }\left( \text{Do }{{\cos }^{2}}x-1=-{{\sin }^{2}}x \right)$

Khi đó ${y}'=\frac{{{m}^{2}}-16}{{{\left( -{{\sin }^{2}}x+m \right)}^{2}}}.{{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{\prime }}=\frac{{{m}^{2}}-16}{{{\left( -{{\sin }^{2}}x+m \right)}^{2}}}.2\sin x\cos x$

Do $2\sin x\cos x>0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \right)$ do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

$\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}-16<0 \\  {} {{\sin }^{2}}x\ne m\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -4<m<4 \\  {} m\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{array} \right.$.

Kết hợp   có 7 giá trị của m. Chọn C.

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{m\sqrt{1-x}-4}{\sqrt{1-x}-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$. A. $\left[ \begin{array}  {} m<-2 \\  {} m>2 \\ \end{array} \right.$. B. $-2<m<2$.              C. $\left[ \begin{array}  {} -2<m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right.$.              D. $\left[ \begin{array}  {} -2<m<0 \\  {} 1<m<2 \\ \end{array} \right.$.

Lời giải

Đặt $t=\sqrt{1-x}\Rightarrow {t}'=\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}<0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;1 \right) \right)$ với $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số $f\left( t \right)=\frac{mt-4}{t-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne t \\  {} {f}'\left( t \right)=\frac{-{{m}^{2}}+4}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}<0 \\ \end{array} \right.\left( \forall t\in \left( 0;1 \right) \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left[ \begin{array}  {} m>2 \\  {} m<-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>2 \\  {} m<-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{\sqrt{1-5x}-2}{\sqrt{1-5x}-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{1}{5} \right)$. A. $\left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right.$  B. $m\le 0$               C. $1\le m<2$              D. $m>2$

Lời giải

Đặt $t=\sqrt{1-5x}\Rightarrow {t}'=\frac{-5}{2\sqrt{1-5x}}<0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;\frac{1}{5} \right) \right)$ với $x\in \left( 0;\frac{1}{5} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số $f\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.

..$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne t \\  {} {f}'\left( t \right)=\frac{-m+2}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}>0 \\ \end{array} \right.\left( \forall t\in \left( 0;1 \right) \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} m\ge 1 \\  {} m\le 0 \\ \end{array} \right. \\  {} m<2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m\le 0 \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số $y=m\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\frac{4}{3}\left( x-3 \right)\sqrt{x-3}-x$ luôn đồng biến trên tập xác định. A. $m\ge \frac{2}{3}$. B. $m\ge \frac{1}{2}$. C. $m\ge \frac{4}{3}$. D. $m\ge \frac{3}{2}$.

Lời giải

Ta có: $y=m\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\frac{4}{3}\left( x-3 \right)\sqrt{x-3}-x\to {y}'=2m\left( x-1 \right)-2\sqrt{x-3}-1;\text{ }\forall x\ge 3$

Đặt $t=\sqrt{x-3}\ge 0\Rightarrow {t}'=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}>0\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x={{t}^{2}}+3$, khi đó ${y}'=f\left( t \right)=2m\left( {{t}^{2}}+2 \right)-2t-1$.

Để hàm số đồng biến trên tập xác định $f\left( t \right)>0;\text{ }\forall t\ge 0\Leftrightarrow 2m\left( {{t}^{2}}+2 \right)\ge 2t+1;\text{ }\forall t\ge 0$.

$\Leftrightarrow 2m\ge \frac{2t+1}{{{t}^{2}}+2};\text{ }\forall t\ge 0\Rightarrow 2m\ge \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( t \right)$ với hàm số $g\left( t \right)=\frac{2t+1}{{{t}^{2}}+2}$

Mặt khác $g\left( t \right)-1=\frac{2t+1}{{{t}^{2}}+2}-1=-\frac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}+2}\le 0\Leftrightarrow g\left( t \right)\le 1\Rightarrow \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( t \right)=1$

Vậy $2m\ge 1\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

 Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp

Phương pháp giải:

Công thức đạo hàm của hàm hợp ${{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( u \right).{u}'$.

Lập bảng xét dấu ${y}'$ của hàm số đã cho và kết luận.

Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)$ trên $\mathbb{R}$. a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)$. b) Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $h\left( x \right)=f\left( x+3 \right)$..

Lời giải

a) Ta có: ${g}'\left( x \right)={{\left[ f\left( 1-2x \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( 1-2x \right).{{\left( 1-2x \right)}^{\prime }}=-2{{\left( 1-2x-1 \right)}^{2}}\left[ 2\left( 1-2x \right)-1 \right]\left( 1-2x+1 \right)$

$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-8{{x}^{2}}\left( 1-4x \right)\left( 2-2x \right)=-16{{x}^{2}}\left( 4x-1 \right)\left( x-1 \right)$

Bảng xét dấu cho ${g}'\left( x \right)$.

Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( \frac{1}{4};1 \right)$.

b) Ta có: ${h}'\left( x \right)={{\left[ f\left( x+3 \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( x+3 \right).{{\left( x+3 \right)}^{\prime }}={{\left( x+3-1 \right)}^{2}}\left[ 2\left( x+3 \right)-1 \right]\left( x+3+1 \right)$

$\Rightarrow {h}'\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)\left( x+4 \right)<0$

Bảng xét dấu cho ${h}'\left( x \right)$

Vậy hàm số $h\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -4;\frac{-5}{2} \right)$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$. a) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$. b) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $h\left( x \right)=f\left( 1-x \right)+\frac{3{{x}^{2}}}{2}-5x+1$.

Lời giải

a) Ta có: ${g}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=2x.\left( {{x}^{2}}-2+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2-2 \right)=2x.\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$.

Bảng xét dấu cho ${g}'\left( x \right)$.

Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$; $\left( 1;1 \right)$ và $\left( 2;+\infty  \right)$. Vậy hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 1;2 \right)$.

b) Ta có: ${h}'\left( x \right)=\left[ {f}'\left( 1-x \right) \right]+3x-5=-{f}'\left( 1-x \right)+3x-5=-\left( 1-x+1 \right)\left( 1-x-2 \right)+3x-5$

$=\left( x-2 \right)\left( -1-x \right)+3x-5=-{{x}^{2}}+4x-3=-\left( x-1 \right)(x-3)$.

Bảng xét dấu cho ${h}'\left( x \right)$

Vậy hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 3;+\infty  \right)$.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-x$. a) Tìm .khoảng đơn điệu của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right)-12x$. b) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)+\frac{16{{x}^{3}}}{3}-16x+2$.

Lời giải

a) Ta có: ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( 2x+1 \right)-12=2.\left[ {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}-\left( 2x+1 \right) \right]-12$

$=2\left( 4{{x}^{2}}+2x-6 \right)=4\left( 2x+3 \right)\left( x-1 \right)$

Bảng xét dấu cho ${g}'\left( x \right)$.

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{3}{2};1 \right)$.

b) Ta có: ${h}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)=2x({{x}^{4}}-{{x}^{2}})+16{{x}^{2}}-16=2{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)+16\left( {{x}^{2}}-1 \right)=2\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}+8 \right)$

Bảng xét dấu cho ${h}'\left( x \right)$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( -1;1 \right)$.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\left( x-2 \right)\left( 2x-5 \right)\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2 \right)-\frac{1}{2}{{x}^{4}}+2$ A. $\left( -1;1 \right)$. B. $\left( 0;2 \right)$. C. $\left( 1;+\infty  \right)$. D. $\left( -3;0 \right)$.

Lời giải

Ta có: $y=f\left( {{x}^{2}}+2 \right)-\frac{1}{2}{{x}^{4}}+2\Rightarrow {y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}+2 \right)-2{{x}^{3}}=2x.{{x}^{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4-5 \right)-2{{x}^{3}}$

$=2{{x}^{3}}\left( 2{{x}^{2}}-2 \right)=4{{x}^{3}}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$.

Bảng xét dấu cho ${y}'$.

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$. Chọn C.

Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x-1 \right)$ trên $\mathbb{R}$ và hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+2 \right)$. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây: A. $\left( -\infty ;-2 \right)$. B. $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$. C. $\left( 2;\frac{3}{2} \right)$.              D. $\left( \frac{3}{2};+\infty  \right)$.

Lời giải

Ta có: ${g}'\left( x \right)={{\left[ f\left( x+2 \right) \right]}^{\prime }}={{\left( x+2 \right)}^{3}}{{\left( x+2-1 \right)}^{2}}\left[ 2\left( x+2 \right)-1 \right]$

$={{\left( x+2 \right)}^{3}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}.\left( 2x+3 \right)<0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( 2x+3 \right)<0\Leftrightarrow -2<x<-\frac{3}{2}$.

Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$.  Chọn B.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}$ trên $\mathbb{R}$ và hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây: A. $\left( -1;0 \right)$. B. $\left( 0;1 \right)$. C. $\left( -2;-1 \right)$. D. $\left( -1;1 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}$

Khi đó ${g}'\left( x \right)={{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)$

$=2x\left( {{x}^{2}}-1 \right).{{x}^{2}}{{\left[ \left( {{x}^{2}}-1 \right)-2 \right]}^{2}}>0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} -1<x<0 \\ \end{array} \right.$

Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$. Chọn A.

Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$, biết rằng ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+x$, hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 1;2 \right)$. B. $\left( -1;1 \right)$. C. $\left( 0;1 \right)$. D. $\left( -\infty ;-1 \right)$.

Lời giải

Ta có công thức đạo hàm của hàm hợp ${{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( u \right).{u}'\left( x \right)$.

Do đó ${{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right).2x=2\left( {{x}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}$.

Vẽ bảng xét dấu ta có: ${{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} -1<x<0 \\ \end{array} \right.$.

Do đó hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right)$. Chọn A.

Bài tập 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)$. Hỏi hàm số $y=f\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+4} \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( -\infty ;-2 \right)$. B. $\left( 0;2 \right)$. C. $\left( 2;4 \right)$. D. $\left( -2;1 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${{\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+4} \right)}^{\prime }}=5.\frac{{{x}^{2}}+4-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}=5.\frac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}$.

Xét hàm số: $y=f\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+4} \right)\Rightarrow {y}'=5.\frac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}.\frac{5x}{{{x}^{2}}+4}{{\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+4}-1 \right)}^{2}}\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+4}-2 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left( 4-{{x}^{2}} \right)x.\left( 5x-2{{x}^{2}}-8 \right)>0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)x(x-2)\left( 2{{x}^{2}}-5x+8 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)x(x-2)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} -2<x<0 \\ \end{array} \right.$.

Vậy hàm số $y=f\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+4} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( 2;4 \right)$.

Chọn C.

Bài tập 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+x-2\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)-18{{x}^{2}}+2$ A. $\left( 0;1 \right)$. B. $\left( -2;0 \right)$. C. $\left( 1;3 \right)$. D. $\left( 2;+\infty  \right)$.

Lời giải

Ta có: $y=f\left( {{x}^{2}} \right)-18{{x}^{2}}+2\Rightarrow {y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-36x=2x.\left[ {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-18 \right]$

$\Leftrightarrow 2x\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2-18 \right)=2x\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}+5 \right)$.

Bảng xét dấu cho ${y}'$

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$. Chọn A.

Bài tập 10: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$. Hàm  số $y=f\left( 2-x \right)$ đồng biến trên khoảng nào? A. $\left( -\infty ;0 \right)$. B. $\left( 0;1 \right)$. C. $\left( 2;+\infty  \right)$. D. $\left( 1;4 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$.

Khi đó: $y=f\left( 2-x \right)\Rightarrow {y}'=-{{\left( 2-x \right)}^{2}}\left( 1-x \right)\left( -x \right)\left( 4-x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}x\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)>0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>4 \\  {} 0<x<1 \\ \end{array} \right.$.

Vậy hàm số $y=f\left( 2-x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$. Chọn B.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+x \right)$. Hàm  số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)+\frac{{{x}^{4}}}{2}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( -2;-1 \right)$. B. $\left( -1;0 \right)$. C. $\left( 0;1 \right)$. D. $\left( -4;-3 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+x \right);{g}'\left( x \right)=\left( 2x+2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)+2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+4x$

$=2\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+2x\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)$

$=2x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left[ \left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+1 \right]$

Do ${{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ nên $\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+1>0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

Do đó ${g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>0 \\  {} -2<x<-1 \\ \end{array} \right.$.

Vậy $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right)$. Chọn A.

Bài tập : Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right){{f}'}'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right).{f}'\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào? A. $\left( 0;2 \right)$. B. $\left( -\infty ;0 \right)$. C. $\left( 2;+\infty  \right)$. D. $\left( 1;2 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${g}'\left( x \right)={{\left[ f\left( x \right).{f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}=f\left( x \right).{{f}'}'\left( x \right)+{{f}^{2'}}\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} 0<x<1 \\ \end{array} \right.$.

Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$. Chọn C.

Bài tập : Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+16 \right)$. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số $y=f\left( 4-x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 4;+\infty  \right)$? A. 6. B. 8. C. 5. D. 7.

Lời giải

Ta có: $y=f\left( 4-x \right)\Rightarrow {y}'=-\left( 4-x \right){{\left( 3-x \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+mt+16 \right)$ với $t=4-x,\text{ }x>4\Rightarrow t<0$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 4;+\infty  \right)\Leftrightarrow \left( x-4 \right){{\left( x-3 \right)}^{2}}\left[ {{t}^{2}}+mt+16 \right]\ge 0\left( \forall x\in \left( 4;+\infty  \right) \right)$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+mt+16\ge 0\text{ }\left( \forall t<0 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+16\ge -mt\text{ }\left( \forall t<0 \right)\Leftrightarrow -t+\frac{-16}{t}\ge m\text{ }\left( \forall t<0 \right)$

$\Leftrightarrow \underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( t \right)\ge m$, với $g\left( t \right)=-t-\frac{16}{t}$

Mặt khác theo BĐT AM – GM ta có: $g\left( t \right)\ge 2\sqrt{-t.\left( \frac{-16}{t} \right)}=8\Rightarrow m\le 8$ là giá trị cần tìm.

Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow$ có 8 giá trị nguyên dương của m. Chọn B.

 Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị.

Phương pháp giải:

Giả sử giả thiết bài toán cho đồ thị hàm ${f}'\left( x \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ như hình vẽ dưới đây.

 Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số $y=f\left( x \right)$ ta dựa đồ thị ${f}'\left( x \right)$như hình vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến.

 Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp $y=f\left( u \right)$ ta làm như sau:

Ta thấy ${f}'\left( x \right)$ đổi dấu qua các điểm $x=b,\text{ }x=c,\text{ }x=d$ và ${f}'\left( x \right)$ bằng không nhưng không đổi dấu tại các điểm $x=a,\text{ }x=e$ nên ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm:

${f}'\left( x \right)=k{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right){{\left( x-e \right)}^{2}}$

Trong đó hệ số $k>0$ nếu $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)>0$ và $k<0$ nếu $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)<0$.

Trong hình vẽ trên ta thấy $k>0$ (vì khi $x\to +\infty$ thì ${f}'\left( x \right)>0$ nên ta có thể giả sử:

${f}'\left( x \right)={{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right){{\left( x-e \right)}^{2}}$ từ đó suy ra đạo hàm của hàm hợp ${{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={u}'.{f}'\left( u \right)$. Từ đó lập bảng xét dấu và kết luận.

Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 0;2 \right)$. B. $\left( 1;3 \right)$. C. $\left( -1;1 \right)$. D. $\left( -\infty ;2 \right)$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta thấy $1<x<3$ thì đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ nằm ở dưới trục hoành nên ${f}'\left( x \right)<0\Rightarrow$ hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$. Chọn B.

Bài tập 2: [Đề thi minh họa của Bộ GD{}ĐT năm 2018] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y=f\left( 2-x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 1;3 \right)$. B. $\left( 2;+\infty  \right)$. C. $\left( -2;1 \right)$. D. $\left( -\infty ;-2 \right)$.

 

Lời giải

Cách 1: Giả sử ${f}'\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)$ ta có: ${{\left[ f\left( 2-x \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( 2-x \right).{{\left( 2-x \right)}^{\prime }}$

$=-{f}'\left( 2-x \right)=-\left( 2-x+1 \right)\left( 2-x-1 \right)\left( 2-x-4 \right)=\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)>0$.

Bảng xét dấu ${{\left[ f\left( 2-x \right) \right]}^{\prime }}$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( -2;1 \right)$ và $\left( 3;+\infty  \right)$.

Cách 2: Ta có: ${{\left[ f\left( 2-x \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( 2-x \right).{{\left( 2-x \right)}^{\prime }}=-{f}'\left( 2-x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)<0$

Dựa vào đồ thị ta có: ${f}'\left( 2-x \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 2-x<-1 \\  {} 1<2-x<4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>3 \\  {} -2<x<1 \\ \end{array} \right.$.

Vậy hàm số đồng biến trên  . Chọn C.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu như sau: Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( -2;0 \right)$. B. $\left( 2;+\infty  \right)$. C. $\left( 0;2 \right)$. D. $\left( -\infty ;-2 \right)$.

Lời giải

Dựa vào bảng xét dấu ta có thể giả sử ${f}'\left( x \right)=-\left( x+2 \right)x\left( x-2 \right)$

(Chú ý: Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)<0$ nên ta chọn $k=-1$).

Khi đó $y=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)\Rightarrow {y}'=-2x.{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)<0$

$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x+\sqrt{2} \right)x\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} 0<x<\sqrt{2} \\  {} -2<x<-\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$.

Vậy hàm số   nghịch biến trên khoảng  . Chọn B.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Hàm số $y=f\left( 3-x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( -\infty ;0 \right)$. B. $\left( 4;6 \right)$. C. $\left( -1;5 \right)$. D. $\left( 0;4 \right)$.

Lời giải

Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử ${f}'\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$.

Khi đó $y=f\left( 3-x \right)\Rightarrow {y}'=-\left( 3-x+1 \right)\left( 3-x-3 \right)=-\left( 4-x \right)\left( -x \right)>0\Leftrightarrow x\left( x-4 \right)<0\Leftrightarrow 0<x<4$.

Do đó hàm số $y=f\left( 3-x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$. Chọn D.

Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y=f\left( 3-{{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 0;1 \right)$. B. $\left( -1;0 \right)$. C. $\left( 2;3 \right)$. D. $\left( -2;-1 \right)$.

Lời giải

Giả sử ${f}'\left( x \right)=\left( x+6 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$, ta có: $y=f\left( 3-{{x}^{2}} \right)\Rightarrow {y}'=-2x.{f}'\left( 3-{{x}^{2}} \right)$.

$=-2x.\left( 3-{{x}^{2}}+6 \right)\left( 3-{{x}^{2}}+1 \right)\left( 3-{{x}^{2}}-2 \right)=2x\left( {{x}^{2}}-9 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$

Bảng xét dấu cho ${y}'$:

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$. Chọn B.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( -1;0 \right)$. B. $\left( -\infty ;0 \right)$. C. $\left( 0;1 \right)$. D. $\left( 1;+\infty  \right)$.

Lời giải

Giả sử ${f}'\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right){{\left( x-4 \right)}^{2}}$

Suy ra ${g}'\left( x \right)={f}'\left( 1-2x \right).{{\left( 1-2x \right)}^{\prime }}=\left( 2-2x \right)\left( -2x \right)\left( -1-2x \right){{\left( -3-2x \right)}^{2}}.\left( -2 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)x\left( 2x+1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>1 \\  {} -\frac{1}{2}<x<1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow$ hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$.

Chọn D.

Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-2x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 0;2 \right)$. B. $\left( 1;3 \right)$. C. $\left( -\infty ;-1 \right)$. D. $\left( -1;+\infty  \right)$.

Lời giải

Giả sử ${f}'\left( x \right)=\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)$

Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( 3-2x \right).{{\left( 3-2x \right)}^{\prime }}=\left( 5-2x \right)\left( 1-2x \right)\left( -2-2x \right).\left( -2 \right)<0$.

$\Leftrightarrow \left( 2x-5 \right)\left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x<-1 \\  {} \frac{1}{2}<x<\frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$. Chọn C.

Bài tập 8: Cho hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình bên.   Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( -\infty ;0 \right)$. B. $\left( 2;+\infty  \right)$. C. $\left( 1;2 \right)$. D. $\left( -\infty ;2 \right)$.

Lời giải

Giả sử ${f}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$

Ta có ${{\left[ f\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right) \right]}^{\prime }}=\left( 2x-2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$.

$\Leftrightarrow -\left( 2x-2 \right){{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{2}}.\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right).\left( {{x}^{2}}-2x \right)<0\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)x\left( x-2 \right)<0\left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} 0<x<1 \\ \end{array} \right.$.

Do đó hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$. Chọn B.

Bài tập 9: Cho hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}+4x-2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( -\infty ;-1 \right)$, $\left( 1;2 \right)$. B. $\left( -1;1 \right)$, $\left( 2;+\infty  \right)$. C. $\left( -1;2 \right)$. D. $\left( -\infty ;-1 \right)$,$\left( 2;+\infty  \right)$.

 

Lời giải

Ta có: ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2x+4>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>x-2$.

Vẽ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y=x-2$ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, ta thấy với $x>2$ hoặc $-1<x<1$ thì đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ nằm trên đường thẳng $y=x-2$.

Vậy nên ${f}'\left( x \right)>x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>2 \\  {} -1<x<1 \\ \end{array} \right.$.

Do đó hàm số   đồng biến trên các khoảng  ,  .Chọn B.

Bài tập 10: [Đề thi minh họa Bộ GD{}ĐT năm 2019] Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Hàm số $y=3f\left( x+2 \right)-{{x}^{3}}+3x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( 1;+\infty  \right)$. B. $\left( -\infty ;-1 \right)$. C. $\left( -1;0 \right)$. D. $\left( 0;2 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{f}'\left( x+2 \right)-3{{x}^{2}}+3;\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow {f}'\left( x+2 \right)={{x}^{2}}-1\left( * \right)$

Đặt $t=x+2$, khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)={{\left( t-2 \right)}^{2}}-1={{t}^{2}}-4t+3$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $t\in \left( 1;2 \right)\xrightarrow{{}}{f}'\left( t \right)>0$

Và ${{t}^{2}}-4t+3<0;\forall t\in \left( 1;2 \right)$ suy ra ${f}'\left( t \right)>{{t}^{2}}-4t+3\Leftrightarrow 1<t<2$.

Do đó ${y}'>0\Leftrightarrow 1<x+2<2\Leftrightarrow -1<x<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $\left( -1;0 \right)$. Chọn C.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ có bảng xét dấu như sau: Hàm số $y=f\left( x+1 \right)-\frac{{{x}^{3}}}{3}+x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( 2;3 \right)$. B. $\left( 1;2 \right)$. C. $\left( 3;4 \right)$. D. $\left( 0;1 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${y}'={f}'\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}+1$.

Đặt $t=x+1$, khi đó ${y}'={f}'\left( t \right)-{{\left( t-1 \right)}^{2}}+1={f}'\left( t \right)-{{t}^{2}}+2t$.

Để hàm số nghịch biến thì ${y}'<0$

Ta chọn t sao cho: $\left\{ \begin{array}  {} {f}'\left( t \right)<0 \\  {} -{{t}^{2}}+2t<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {f}'\left( t \right)<0 \\  {} \left[ \begin{array}  {} t>2 \\  {} t<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t\in \left( 2;3 \right)\Rightarrow x\in \left( 1;2 \right)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$.Chọn B.

Bài tập 12: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ như hình bên dưới và hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)$. Hàm số  $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( -1;0 \right)$. B. $\left( 0;1 \right)$. C. $\left( -2;-\frac{1}{2} \right)$. D. $\left( -4;-2 \right)$.

Lời giải

Giả sử ${f}'\left( x \right)=\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)$

Khi đó ${g}'\left( x \right)={{\left[ f\left( {{x}^{2}}+x+2 \right) \right]}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}^{\prime }}.{f}'\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)$

$=\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)\left( {{x}^{2}}+x \right)\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)>0\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)x\left( x+1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>0 \\  {} -1<x<-\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$.

Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$. Chọn B.

Bài tập : Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{3}{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}x-f\left( x \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -3;-1 \right)$. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$. D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)$.

Lời giải

Khẳng định 1 đúng. Ta có: ${g}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \right)-{f}'\left( x \right)=0$

Parabol $y={{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}=h\left( x \right)$ đi qua 3 điểm $\left( -3;3 \right),\text{ }\left( -1;2 \right)$ và $\left( 1;1 \right)$.

Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta có: ${g}'\left( x \right)=h\left( x \right)-{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-3 \\  {} x=-1 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.$ .

Khi $x\to +\infty$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\Rightarrow g'\left( x \right)>0$ do đó ta có bảng xét dấu.

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$. Chọn C.

Bài tập 14: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2018$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây. A. $\left( -1;1 \right)$. B. $\left( -1;0 \right)$. C. $\left( 0;2 \right)$. D. $\left( -2;-1 \right)$.

Lời giải

Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}$, parabol $y={{x}^{2}}$ cũng đi qua các điểm $\left( -1;1 \right),\text{ }\left( 0;0 \right),\text{ }\left( 1;1 \right)$ nằm trên đồ thị (Parabol $y={{x}^{2}}$ có đồ thị đậm hơn trong hình vẽ dưới).

Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị ta có ${f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=0 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.,x\to -\infty \Rightarrow {f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}$.

Từ đó, ta có bảng xét dấu cho ${g}'\left( x \right)$ như sau:

Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$.

Bài tập 15: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây. A. $\left( 0;1 \right)$. B. $\left( 1;2 \right)$. C. $\left( -1;1 \right)$. D. $\left( 2;+\infty  \right)$.

Lời giải

Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}$.

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và Parabol $y={{\left( x-1 \right)}^{2}}$ ta có:

${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=1 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$. Từ đó ta có bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ như sau:

Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$. Chọn B.

Bài tập 16: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+2018$ giảm trên khoảng A. $\left( -\infty ;1 \right)$. B. $\left( 2;+\infty  \right)$. C. $\left( 0;1 \right)$. D. $\left( 1;2 \right)$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)$ đổi dấu khi qua các điểm $x=-1;\text{ }x=1$.

Giả sử ${f}'\left( x \right)=k\left( x+1 \right)\left( x-1 \right),\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)>0\Rightarrow k>0$ ta có:

$y=f\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+2018\Rightarrow {y}'=\left( 2x-2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=k\left( 2x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x \right)$

$=2k\left( x-1 \right)x\left( x-2 \right).\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1 \right]<0\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 1<x<2 \\  {} x<0 \\ \end{array} \right.$.

Do đó hàm số giảm trên khoảng $\left( 1;2 \right)$. Chọn D.

Bài tập 17: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây. A. $\left( -3;1 \right)$. B. $\left( 1;3 \right)$. C. $\left( -\infty ;3 \right)$. D. $\left( 3;+\infty  \right)$.

Lời giải

Ta có: ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)+2\left( x+1 \right)=2\left[ {f}'\left( x \right)-\left( -x-1 \right) \right]>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>-x-1$.

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y=-x-1$ ta có ${f}'\left( x \right)=-x-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-3 \\  {} x=1 \\  {} x=3 \\ \end{array} \right.$.

Dễ thấy khi $x\to +\infty$ thì $-x-1>{f}'\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$ ta có bảng xét dấu ${g}'\left( x \right)$

Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$ và $\left( 1;3 \right)$. Chọn B.

Bài tập 18: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $h\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}$. Hàm số $y=h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây. A. $\left( -\infty ;-2 \right)$. B. $\left( 2;4 \right)$. C. $\left( -2;2 \right)$. D. $\left( 2;+\infty  \right)$.

Lời giải

Ta có: ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2x=2\left[ {f}'\left( x \right)-x \right]>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>x$

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y=x$ ta có ${f}'\left( x \right)=x\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=2 \\  {} x=4 \\ \end{array} \right.$.

Lập bảng xét dấu cho ${h}'\left( x \right)$

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số $y=h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;2 \right)$. Chọn C.

Bài tập 19: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị đạo hàm $y={f}'\left( x \right)$là Parabol như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left( 1-{{x}^{2}} \right)+6{{x}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( -\infty ;-1 \right)$. B. $\left( \sqrt{2};+\infty  \right)$. C. $\left( -\sqrt{2};0 \right)$. D. $\left( 1;\sqrt{2} \right)$.

Lời giải

Giả sử ${f}'\left( x \right)=k\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$, do ${f}'\left( 0 \right)=2\Rightarrow k=1\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$.

Khi đó: $y=f\left( 1-{{x}^{2}} \right)+6{{x}^{2}}\Rightarrow {y}'=-2x\left( 1-{{x}^{2}}-1 \right)\left( 1-{{x}^{2}}-2 \right)+12x$

$=-2x\left[ {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)-6 \right]=-2x\left( {{x}^{2}}-3 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)$

Bảng xét dấu:

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\sqrt{3} \right)$ và $\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right)$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;\sqrt{2} \right)$. Chọn D.

Bài tập 20: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi A. $m<f\left( -1 \right)-1$. B. $m<f\left( -1 \right)-1$. C. $m\le f\left( 1 \right)+3$. D. $m<f\left( 1 \right)+3$.

Lời giải

Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x \right)>m\text{ }\left( \forall x\in \left( -1;1 \right) \right)$.

Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( 3{{x}^{2}}-2x-3 \right)$

Do Parabol $y=3{{x}^{2}}-2x-3$ đi qua 2 điểm $\left( -1;2 \right)$ và $\left( 1;-2 \right)$ nên ta thấy

${f}'\left( x \right)\ge 3{{x}^{2}}-2x-3\text{ }\left( \forall x\left( -1;1 \right) \right)$ suy ra hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ nên $g\left( x \right)>g\left( -1 \right)\text{ }\left( \forall x\left( -1;1 \right) \right)$.

Suy ra $m\le f\left( -1 \right)-1$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Bài tập 21: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$. Hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số $y={g}'\left( x \right)$. Hàm số $h\left( x \right)=f\left( x+6 \right)-g\left( 2x+\frac{5}{2} \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( \frac{21}{5};+\infty  \right)$. B. $\left( \frac{1}{4};1 \right)$. C. $\left( 3;\frac{21}{5} \right)$. D. $\left( 4;\frac{17}{4} \right)$.

Lời giải

Ta có: ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+6 \right)-2{g}'\left( 2x+\frac{5}{2} \right)>0$

Trên đoạn $\left[ 3;8 \right]$, ta được $\underset{\left[ 3;8 \right]}{\mathop{\min }}\,{f}'\left( x \right)=f\left( 3 \right)=10;\underset{\left[ 3;8 \right]}{\mathop{\max }}\,{g}'\left( x \right)=g\left( 8 \right)=5$.

Do đó ${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>2{g}'\left( x \right);\forall x\in \left( 3;8 \right)$

Nếu $\left\{ \begin{array}  {} 3<x+6<8 \\  {} 3<2x+\frac{5}{2}<8 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{1}{4}<x<2$ thì ${f}'\left( x+6 \right)>2{g}'\left( 2x+\frac{5}{2} \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)>0$ trên khoảng $\left( \frac{1}{4};2 \right)$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( \frac{1}{4};2 \right)$. Chọn B.

Bài tập 22: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$. Hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số $y={g}'\left( x \right)$. Hàm số $h\left( x \right)=f\left( x+3 \right)-g\left( 2x-\frac{7}{2} \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $\left( \frac{13}{4};4 \right)$. B. $\left( 7;\frac{29}{4} \right)$. C. $\left( 6;\frac{36}{5} \right)$.              D. $\left( \frac{36}{5};+\infty  \right)$

Lời giải

Ta có: ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x+3 \right)-2{g}'\left( 2x-\frac{7}{2} \right)>0$

Trên đoạn $\left[ 3;8 \right]$, ta được $\underset{\left[ 3;8 \right]}{\mathop{\min }}\,{f}'\left( x \right)=f\left( 3 \right)=10;\underset{\left[ 3;8 \right]}{\mathop{\max }}\,{g}'\left( x \right)=g\left( 8 \right)=5$.

Do đó ${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>2{g}'\left( x \right);\forall x\in \left( 3;8 \right)$

Nếu $\left\{ \begin{array}  {} 3<x+3<8 \\  {} 3<2x-\frac{7}{2}<8 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{13}{4}<x<5$ thì ${f}'\left( x+3 \right)>2{g}'\left( 2x-\frac{7}{2} \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)>0$ trên khoảng $\left( \frac{13}{4};5 \right)$.

.Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( \frac{13}{4};4 \right)$. Chọn A.