Tìm nguyên hàm bằng cách Đổi biến số hàm số vô tỉ (Đặt t = hàm theo biến x)

Tìm nguyên hàm bằng cách Đổi biến số hàm số vô tỉ (Đặt t = hàm theo biến x)

Phương pháp đổi biến số hàm số vô tỉ

@ Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản

Nguyên hàm $\int{f\left( x \right)dx}$ trong đó $f\left( x \right)=\sqrt[n]{g\left( x \right)}$ ta đặt $t=\sqrt[n]{g\left( x \right)}\Rightarrow {{t}^{n}}=g\left( x \right)$

$\Rightarrow n{{t}^{n-1}}dt={g}'\left( x \right)dx$. Khi đó $\int{f\left( x \right)dx}=\int{h\left( t \right)dt.}$

@ Mẫu 2: Nguyên hàm dạng $\int{f\left( {{a}^{x}} \right)dx}.$

Ta đặt $t={{a}^{x}}\Rightarrow dt={{a}^{x}}\ln adx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t.\ln a}\Rightarrow \int{f\left( {{a}^{x}} \right)dx}=\int{\frac{f\left( t \right).dt}{t.\ln a}}$.

@ Mẫu 3: Nguyên hàm dạng $\int{\frac{f\left( \ln x \right)dx}{x}}.$

Ta đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx.$ Khi đó $\int{\frac{f\left( \ln x \right)dx}{x}}=\int{f\left( t \right)dt}.$

Chú ý: Nếu nguyên hàm Mẫu 2 và Mẫu 3 có chứa căn thức, ta nên đặt t bằng căn thức.

Bài tập với nguyên hàm $I=\int{\frac{\ln x.dx}{x\sqrt{{{\ln }^{2}}x+1}}}$ ta nên đặt $t=\sqrt{{{\ln }^{2}}x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\ln }^{2}}x+1.$

$\Rightarrow 2tdt=2\ln x.\frac{1}{x}dx\Rightarrow tdt=\ln x.\frac{1}{x}dx.$ Khi đó $I=\int{\frac{tdt}{t}}=\int{dt=t+C}=\sqrt{{{\ln }^{2}}x+1}+C$.

Bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số hàm số vô tỉ có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+4\Rightarrow 2t\text{d}t=2xdx\Leftrightarrow tdt=xdx.$

Khi đó $I=\int{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+4}xdx}=\int{\left( {{t}^{2}}-4 \right)t.tdt}=\int{\left( {{t}^{4}}-4{{t}^{2}} \right)dt}$

$=\frac{{{t}^{5}}}{5}-\frac{4{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{5}}}}{5}-\frac{4\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{3}}}}{3}+C.$

b) Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+4\Rightarrow 2tdt=2xdx\Leftrightarrow tdt=xdx.$

Khi đó $I=\int{x\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{3}}}dx}=\int{{{t}^{3}}.tdt}=\int{{{t}^{4}}dt}=\frac{{{t}^{5}}}{5}+C=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{5}}}}{5}+C.$

c) Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow {{t}^{2}}=x\Rightarrow 2tdt=dx$

Khi đó $I=\int{\frac{2tdt}{{{t}^{2}}\left( 1+t \right)}}=\int{\frac{2dt}{t\left( t+1 \right)}}=\int{\frac{2\left( t+1-t \right)dt}{t\left( t+1 \right)}}=2\int{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt}.$

$=2\ln \left| t \right|-2\ln \left| t+1 \right|+C=2\ln \left| \frac{t}{t+1} \right|+C=2\ln \left| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right|+C.$

d) Đặt $t=\sqrt{{{x}^{3}}+9}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{3}}+9\Rightarrow 2tdt=3{{x}^{2}}dx$

Ta có: $I=\int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{3}}+9}}dx}=\int{\frac{3{{x}^{2}}}{3{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{3}}+9}}dx}=\int{\frac{2tdt}{3\left( {{t}^{2}}-9 \right).t}}$

$=\frac{2}{3}\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-9}}=\frac{2}{3}\int{\frac{dt}{\left( t-3 \right)\left( t+3 \right)}}=\frac{1}{9}\int{\frac{\left[ \left( t+3 \right)-\left( t-3 \right) \right]dt}{\left( t-3 \right)\left( t+3 \right)}}=\frac{1}{9}\int{\left( \frac{1}{t-3}-\frac{1}{t+3} \right)}$

$=\frac{1}{9}\ln \left| \frac{t-3}{t+3} \right|+C=\frac{1}{9}\ln \left| \frac{\sqrt{{{x}^{3}}+9}-3}{\sqrt{{{x}^{3}}+9}+3} \right|+C.$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx\Rightarrow dt=tdx$

Khi đó $I=\int{\frac{\left( 2t+1 \right)dt}{t\left( t+1 \right)}}=\int{\frac{\left( 2t+1 \right)dt}{{{t}^{2}}+t}}=\int{\frac{d\left( {{t}^{2}}+t \right)}{{{t}^{2}}+t}}=\ln \left| {{t}^{2}}+t \right|+C=\ln \left( {{e}^{2x}}+{{e}^{x}} \right)+C$

$=\ln {{e}^{x}}+\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+C=x+\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+C.$

Cách 2: $I=\int{\frac{2{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}+1}}dx=\int{\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}+1}dx}=\int{\left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}+1 \right)dx}=\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{x}}+1}}+\int{dx}$

$=\int{\frac{d\left( {{e}^{x}}+1 \right)}{{{e}^{x}}+1}}+x=\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+x+C.$

b) Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{dx}{x}$

Khi đó $I=\int{\frac{{{t}^{2}}+1}{t}dt}=\int{\left( t+\frac{1}{t} \right)dt}=\frac{{{t}^{2}}}{2}+\ln \left| t \right|+C=\frac{{{\ln }^{2}}x}{2}+\ln \left| \ln x \right|+C.$

c) Đặt $t=\sqrt{2\ln x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=2\ln x+1\Rightarrow 2tdt=\frac{2dx}{x}\Leftrightarrow tdt=\frac{dx}{x}.$

Khi đó: $I=\int{\frac{{{t}^{2}}-1}{2}tdt}=\frac{1}{2}\int{\left( {{t}^{4}}-{{t}^{2}} \right)dt}=\frac{{{t}^{5}}}{10}-\frac{{{t}^{3}}}{6}+C$

$\Rightarrow t=\frac{\sqrt{{{\left( 2\ln x+1 \right)}^{5}}}}{10}-\frac{\sqrt{{{\left( 2\ln x+1 \right)}^{3}}}}{6}+C.$

d) Đặt $t=\sqrt{\ln x+2}\Rightarrow {{t}^{2}}=\ln x+2\Rightarrow 2tdt=\frac{dx}{x}$

Khi đó $I=\int{\frac{{{t}^{2}}-2}{t}.2tdt}=2\int{\left( {{t}^{2}}-2 \right)dt}=\frac{2{{t}^{3}}}{3}-4t+C=\frac{2\sqrt{{{\left( \ln x+2 \right)}^{3}}}}{3}-4\sqrt{\ln x+2}+C.$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $t=\sqrt{4x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=4x+1\xrightarrow{\,}\left\{ \begin{align} & 2tdt=4dx \\ & x=\frac{{{t}^{2}}-t}{4} \\ \end{align} \right.\xrightarrow{\,}{{I}_{1}}=\int{\frac{xdx}{\sqrt{4x+1}}}=\int{\frac{\frac{{{t}^{2}}-1}{4}.\frac{tdt}{2}}{t}}=\frac{1}{8}\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}$

$=\frac{1}{8}\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-t \right)+C=\frac{1}{8}\left( \frac{\sqrt{{{\left( 4x+1 \right)}^{3}}}}{3}-\sqrt{4x+1} \right)+C.$

b) Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+2\xrightarrow{\,}{{x}^{2}}={{t}^{2}}-2\Leftrightarrow 2xdx=2tdt\xrightarrow{\,}{{x}^{3}}dx={{x}^{2}}.xdx=\left( {{t}^{2}}-2 \right).tdt$

${{I}_{2}}=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+2}.{{x}^{3}}dx=\int{t.\left( {{t}^{2}}-2 \right)tdt}=\int{\left( {{t}^{4}}-2{{t}^{2}} \right)dt}}=\frac{{{t}^{5}}}{5}-2.\frac{{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{5}}}}{5}-\frac{2\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}}}{3}+C$

c) Đặt $t=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=1-x\Leftrightarrow x=1-{{t}^{2}}\xrightarrow{\,}\left\{ \begin{align} & dx=-2tdt \\ & {{x}^{2}}={{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\xrightarrow{\,}{{I}_{3}}=\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{\sqrt{1-x}}}=-2\int{\frac{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}tdt}{t}}$

$=-2\int{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}dt}=-2\int{\left( {{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1 \right)dt}=-2\left( \frac{{{t}^{5}}}{5}-\frac{2{{t}^{3}}}{3}+t \right)+C=-2\left( \frac{\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}}{5}-\frac{2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}}{3}+\sqrt{1-x} \right)+C$${{I}_{3}}=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+2}.{{x}^{3}}dx}=\int{t.\left( {{t}^{2}}-2 \right)tdt}=\frac{{{t}^{5}}}{5}-2.\frac{{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{5}}}}{5}-\frac{2\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}}}{3}+C.$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $t=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2tdt=dx \\ & x={{t}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow {{I}_{4}}=\int{\frac{2{{t}^{2}}dt}{{{t}^{2}}-1}}=\int{\left( 2+\frac{2}{\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)} \right)dt}$

${{I}_{4}}=2t+\left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C=2\sqrt{x+1}+\ln \left| \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \right|+C$

b) Đặt $t=\sqrt{1+3x}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+3x\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2tdt=3dx \\ & x=\frac{{{t}^{2}}-1}{3} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{I}_{5}}=\int{\frac{2tdt}{3\left( 1+t \right)}}=\frac{2}{3}\int{\left( 1-\frac{1}{t+1} \right)dt}$

${{I}_{5}}=\frac{2}{3}\left( t-\ln \left| t+1 \right| \right)+C=\frac{2}{3}\left( \sqrt{1+3x}-\ln \left| \sqrt{1+3x}+1 \right| \right)$

Lời giải chi tiết

a) Đặt $t=\sqrt{{{e}^{x}}-1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\left( {{e}^{x}}-1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2tdt={{e}^{x}}dx \\ & {{e}^{x}}={{t}^{2}}+1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{I}_{6}}=\int{\frac{2t\left( {{t}^{2}}+1 \right)dt}{1+t}}=2\int{\left( {{t}^{2}}-t+2-\frac{2}{t+1} \right)dt}$

$=2\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{2}+2t-2\ln \left| t+1 \right| \right)+C=2\left( \frac{\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{3}}}}{3}-\frac{{{e}^{x}}-1}{2}-2\sqrt{{{e}^{x}}-1}-2\ln \left( \sqrt{{{e}^{x}}-1}+1 \right) \right)+C$

b) Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2tdt=dx \\ & {{t}^{2}}=x \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{I}_{7}}=\int{\frac{2tdt}{t{{\left( 1+t \right)}^{2}}}}=\frac{-2}{1+t}+C=\frac{-2}{1+\sqrt{x}}+C$

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$

Ta có: $I=\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t.2tdt}=\int{\left( 2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}} \right)dt}=\frac{2{{t}^{5}}}{5}-\frac{2{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{2{{t}^{3}}}{15}\left( 3{{t}^{2}}-5 \right)$

$=\frac{2\left( x+1 \right)\left( 3x+2 \right)\sqrt{x+1}}{15}+C.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x-2}\Rightarrow {{t}^{2}}=x-2\Rightarrow 2tdt=dx$

Khi đó $I=\int{\frac{2\left( {{t}^{2}}+2 \right)}{t}.2tdt}=\int{\left( 4{{t}^{2}}+8 \right)dt}=\frac{4{{t}^{3}}}{3}+8t+C=\frac{4}{3}t\left( {{t}^{2}}+6 \right)+C$

$=\frac{4}{3}\sqrt{x-2}\left( x+4 \right)+C.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x+2}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+2\Rightarrow 2tdt=dx$

Khi đó $I=\int{\frac{2tdt}{{{t}^{2}}+3t}}=\int{\frac{2dt}{t+3}}=2\ln \left| t+3 \right|+C=2\ln \left( \sqrt{x+2}+3 \right)+C.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$

Khi đó $I=\int{\frac{\left( {{t}^{2}}-1 \right).2tdt}{1+t}}=\int{\left( t-1 \right).2tdt}=\int{\left( 2{{t}^{2}}-2t \right)dt}=\frac{2{{t}^{3}}}{3}-{{t}^{2}}+C$

$=\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}-x-1+C=\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}-x+C.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx=tdx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t}$

Khi đó $I=\int{\frac{dt}{t\left( t+1 \right)}}=\int{\left( \frac{t+1-t}{t\left( t+1 \right)} \right)dt}=\int{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt}=\ln \left| \frac{t}{t+1} \right|+C$

$=\ln \left| \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right|+C=\ln \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}+C.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $F\left( x \right)=\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}+1}}$. Đặt $t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx$

Khi đó $\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}+1}}=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}+2t+1}}=\int{\frac{d\left( t+1 \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}}=\frac{-1}{t+1}+C$

Do đó $F\left( x \right)=\frac{-1}{{{e}^{x}}+1}+C,$ do $F\left( 0 \right)=0\Rightarrow \frac{-1}{2}+C=0\Leftrightarrow C=\frac{1}{2}$

Suy ra $F\left( x \right)=\frac{-1}{{{e}^{x}}+1}+\frac{1}{2}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=\int{\sqrt{{{e}^{x}}+1}.{{e}^{2x}}dx}$

Đặt $t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}+1\Rightarrow 2tdt={{e}^{x}}dx$

Khi đó $I=\int{t\left( {{t}^{2}}-1 \right).2tdt}=\int{\left( 2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}} \right)dt}=\frac{2{{t}^{5}}}{5}-\frac{2{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{2{{t}^{3}}\left( 3{{t}^{2}}-5 \right)}{15}+C$

$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{2\left( {{e}^{x}}+1 \right)\sqrt{{{e}^{x}}+1}\left( 3{{e}^{x}}-2 \right)}{15}+C$

Lại có: $F\left( 0 \right)=\frac{2.2\sqrt{2}}{15}+C=0\Rightarrow C=\frac{-4\sqrt{2}}{15}$

Vậy $F\left( x \right)=\frac{2\left( {{e}^{x}}+1 \right)\sqrt{{{e}^{x}}+1}\left( 3{{e}^{x}}-2 \right)-4\sqrt{2}}{15}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx$

Khi đó $\int{\frac{\ln xdx}{x{{\left( 2+\ln x \right)}^{2}}}}=\int{\frac{tdt}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}}=\int{\frac{t+2-2}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}dt}=\int{\left[ \frac{1}{t+2}-\frac{2}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}} \right]dt}$

$=\ln \left| t+2 \right|+\frac{2}{t+2}+C=\ln \left| \ln x+2 \right|+\frac{2}{\ln x+2}+C.$ Chọn B.