Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho trước

Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho trước

Một số bài tập tìm GTLN – GTNN của hàm số chưa tham số m có đáp án

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'(x)=-2x+4$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1\le x\le 3 \\  {} -2x+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$

Tính $f(-1)=-5-m;f(2)=4-m;f(3)=3-m$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(2)=4-m=10\Rightarrow m=-6$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'(x)=-3{{x}^{2}}-6x$

Phương trình$f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1\le x\le 1 \\  {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0$

Tính $f(-1)=-2+a;f(0)=a;f(1)=-4+a$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=-4+a=0\Rightarrow a=4.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $f'(x)=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;\forall x\in \mathbb{R}.$ Mà $\Delta '=-2{{m}^{2}}-3m-3<0;\forall m\in \mathbb{R}$

Suy ra $y'<0;\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1].$ Do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,y=y(1)=-6$

Lại có $y(1)=-2-{{m}^{2}}\to -2-{{m}^{2}}=-6\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=2 \\  {} m=-2 \\ \end{array} \right..$ Vậy $\sum{m=0.}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có $y'=3{{(x+m)}^{2}}+3{{(x+n)}^{2}}-3{{x}^{2}}=3\left[ {{x}^{2}}+2(m+n)x+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right]$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '={{(m+n)}^{2}}-{{m}^{2}}-{{n}^{2}}\le 0\Leftrightarrow mn\le 0$

Lại có $P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-\left( m+n \right)=4{{\left( m+n \right)}^{2}}-8mn-\left( m+n \right)\ge 4{{\left( m+n \right)}^{2}}-\left( m+n \right)$

$=4{{(m+n)}^{2}}-2.2(m+n).\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}={{\left[ 2(m+n)-\frac{1}{4} \right]}^{2}}-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\Rightarrow {{P}_{\min }}=-\frac{1}{16}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Xét hàm số $f(x)=\frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}$ trên [0;3], có $f'(x)=\frac{8+{{m}^{2}}}{{{(x+8)}^{2}}}>0;\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]$

Suy ra $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $(0;3)\to \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(0)=-\frac{{{m}^{2}}}{8}$

Theo bài ta, ta có  $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-2\Leftrightarrow -\frac{{{m}^{2}}}{8}=-2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Rightarrow {{m}_{\max }}=4$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Xét hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ trên [1;2], có $f'(x)=\frac{1-m}{{{(x+1)}^{2}}};\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]$

Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,y=f(1)+f(2)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=\frac{16}{3}\Rightarrow m=5$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $f(x)=\frac{x-m}{x+2}$ trên [0;1]. Có $f'(x)=\frac{m+2}{{{(x+2)}^{2}}};\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]$

•    TH1. Với $m>-2$ suy ra $f'(x)>0\Rightarrow f(x)$ là hàm số đồng biến trên $(0;1)$

Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(1)=\frac{1-m}{3};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(0)=-\frac{m}{2}$

Theo bài ra, ta có $\frac{1-m}{3}\ge 2\left( -\frac{m}{2} \right)\Leftrightarrow 1-m\ge -3m\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$

Kết hợp với $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ có 11 giá trị nguyên m

•    TH2. Với $m<-2$ suy ra $f'(x)<0\Rightarrow f(x)$ là hàm số nghịch biến trên $(0;1)$

Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(0)=-\frac{m}{2};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=\frac{1-m}{3}$

Theo bài ra, ta có $-\frac{m}{2}\ge 2.\left( \frac{1-m}{3} \right)\Leftrightarrow -3m\ge 4-4m\Leftrightarrow m\ge 4$ (vô lý)

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có $f'(x)=\frac{1.(-m)-1.(-{{m}^{2}}-2)}{{{(x-m)}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}-m+2}{{{(x-m)}^{2}}}>0;\forall x\ne m$

Với $x=m\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>4 \\  {} m<0 \\ \end{array} \right.,$ ta được $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $(0;4)$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(4)=\frac{2-{{m}^{2}}}{4-m}.$ Theo bài ra, ta có $\frac{2-{{m}^{2}}}{4-m}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=2 \\  {} m=-3 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện:  $\left[ \begin{array}  {} m>4 \\  {} m<0 \\ \end{array} \right.\to m=-3$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-2)\xrightarrow{{}}\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Rightarrow a<0$

Lại có $f'(x)=3a{{x}^{2}}+c$ mà $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-2)\Rightarrow f'(-2)=0\Leftrightarrow 12a+c=0$

Do đó $f(x)=a{{x}^{3}}+cx+d=a{{x}^{3}}-12ax+d$

Xét hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}-12ax+d$ trên [1;3], có $f'(x)=3a{{x}^{2}}-12a;$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1\le x\le 3 \\  {} 3a{{x}^{2}}-12a=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1\le x\le 3 \\  {} {{x}^{2}}-4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$

Tính $f(1)=d-11a;f(2)=d-16a;f(3)=d-9a.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;3]}{\mathop{\max }}\,f(x)=d-16a.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-1)\xrightarrow{{}}\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Rightarrow a>0$

Lại có $f'(x)=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-1)\Rightarrow f'(-1)=0\Leftrightarrow b=-2a$

Do đó $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$

Xét hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ có $f'(x)=4a{{x}^{3}}-4ax$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\  {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\  {} x({{x}^{2}}-1)=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$

Tính $f\left( \frac{1}{2} \right)=c-\frac{7a}{16};f(1)=c-a;f(2)=8a+2.$ Vậy $\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=c-a.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4x;f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$

Tính $\left| f(0) \right|=\left| m \right|;\left| f(1) \right|=\left| m-1 \right|;\left| f(2) \right|=\left| m+8 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$

•    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-1 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} \left| m-1 \right|=5 \\  {} \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-4$
•    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m+8 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} \left| m+8 \right|=5 \\  {} \left| m+8 \right|\ge \left| m-1 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-3$

Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $(-5;-2).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Xét hàm số $g(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'(x)=6{{x}^{2}}-6x;g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.$

Tính $\left\{ \begin{array}  {} f(-1)=\left| m-5 \right|;f(0)=\left| m \right| \\  {} f(1)=\left| m-1 \right|;f(3)=\left| m+27 \right| \\ \end{array} \right.$. Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left\{ \left| m-5 \right|;\left| m+27 \right| \right\}$

•    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left| m-5 \right|\Leftrightarrow \left| m-5 \right|\le 3\Leftrightarrow -3\le m-5\le 3\Leftrightarrow 2\le m\le 8$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3;4;...;8 \right\}$. Thử lại $\Rightarrow$ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.

•    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left| m+27 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| m+27 \right|\le \left\{ \left| m-5 \right|;\left| m \right|;\left| m-1 \right| \right\} \\  {} \left| m+27 \right|\le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -30\le m\le -24$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm.

Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'(x)=3{{x}^{2}}-6x;f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$

Tính $\left| f(0) \right|=\left| m \right|;\left| f(1) \right|=\left| m-2 \right|;\left| f(2) \right|=\left| m-4 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$

•    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m \right|\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge \left| m-4 \right|\Leftrightarrow m\ge 2\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$

•    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-4 \right|\xrightarrow{{}}\left| m-4 \right|\le \left| m \right|\Leftrightarrow m\le 2\xrightarrow{{}}m-4\le -2\Leftrightarrow \left| m-4 \right|\ge 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Xét hàm số $g(x)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'(x)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$

Phương trình $g'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -3\le x\le 2 \\  {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=0 \\ \end{array} \right.$

Tính $\left\{ \begin{array}  {} f(-1)=\left| m-5 \right|;f(0)=\left| m \right| \\  {} f(-3)=\left| m+243 \right|;f(2)=\left| m-32 \right| \\ \end{array} \right..$ Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left\{ \left| m-32 \right|;\left| m+243 \right| \right\}$

•    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left| m+243 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| m-32 \right|\le \left| m+243 \right| \\  {} \left| m+243 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-93$
•    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left| m-32 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| m-32 \right|\ge \left| m+243 \right| \\  {} \left| m-32 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-118$

Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $u(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$

Phương trình $u'(x)=0\Leftrightarrow x\left\{ 0;1;2 \right\}.$ Khi đó $u(0)=u(2)=a;u(1)=a+1$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$

•    TH1. Với $a=0$, ta thấy $\left\{ \begin{array}  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=0 \\  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} M=1 \\  {} m=0 \\ \end{array} \right.$ (không TMĐK)
•    TH2. Với $a>0,$ ta có $\left\{ \begin{array}  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left| a \right| \\  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left| a+1 \right| \\ \end{array} \right.$   mà $M\le 2m\Rightarrow \left| a+1 \right|\le 2\left| a \right|\Leftrightarrow a\ge 1$

Kết hợp với điều kiện $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ 1;2;3 \right\}$

•    TH3. Với $a<0$, ta có $\left\{ \begin{array}  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left| a+1 \right| \\  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left| a \right| \\ \end{array} \right.$   mà $M\le 2m\Rightarrow \left| a \right|\le 2\left| a+1 \right|\Leftrightarrow a\ge -2$

Kết hợp $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ -3;-2 \right\}$

Vậy có 5 giá trị nguyên của a.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Đặt $t=\frac{x-1}{2}\in [-1;1]\Rightarrow t=\cos x\Rightarrow x=2\cos x+1$

Khi đó $f(x)=\left| {{(2\cos x+1)}^{3}}+a.{{(2\cos x+1)}^{2}}+b.(2\cos x+1)+c \right|$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left| 8{{\cos }^{3}}x+(12+4a).{{\cos }^{2}}x+(6+4a+2b).\cos x+a+b+c+1 \right|$

Suy ra $\frac{f(x)}{2}=\left| 4{{\cos }^{3}}x+(6+2a).{{\cos }^{2}}x+(3+2a+b).\cos x+\frac{a+b+c+1}{2} \right|$

$\Leftrightarrow \frac{f(x)}{2}\le \left| 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right|=\left| \cos 3x \right|\le 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}  {} 6+2a=0 \\  {} 3+2a+b=-3 \\  {} a+b+c+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-3 \\  {} b=0 \\  {} c=2 \\ \end{array} \right.$