Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K

Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K.

Phương pháp giải cực trị hàm bậc 3 có chứa tham số m

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$

Khi $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt ta gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$là tọa độ hai điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}\text{     }  \\\end{matrix} \right..$

Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ ta được $y=y'.g\left( x \right)+h\left( x \right).$

Khi đó ${{y}_{1}}=y'\left( {{x}_{1}} \right).g\left( {{x}_{1}} \right)+h\left( {{x}_{1}} \right)=h\left( {{x}_{1}} \right)$ và ${{y}_{2}}=y'\left( {{x}_{2}} \right).g\left( {{x}_{2}} \right)+h\left( {{x}_{2}} \right)=h\left( {{x}_{2}} \right)$

Chú ý:

Độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}.$

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}.$

Tam giác $CAB$ vuông tại $C$ thì $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0.$

Công thức diện tích $\Delta CAB:{{S}_{CAB}}=\frac{1}{2}d\left( C;AB \right).AB.$

Bài tập tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu tại A, B thõa mãn điều kiện K

Bài tập 1: Cho hàm số $y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4m\left( 3m-1 \right)x+7.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=2{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-4m\left( 3m-1 \right);\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x-2m\left( 3m-1 \right).$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+8m\left( 3m-1 \right)>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-10m+1>0\Leftrightarrow {{\left( 5m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{5}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $f\left( x \right)=0$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m\text{          }  \\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\left( 1-3m \right)\text{     }  \\\end{matrix} \right.(*)$

Từ giả thiết, ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8,$ kết hợp với (*) ta được

${{\left( 1-m \right)}^{2}}-4m\left( 1-3m \right)=8\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1+12{{m}^{2}}-4m=8\Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-6m-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1  \\   m=\frac{-7}{13}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện $m\ne \frac{1}{5}$ nên $m=1;m=\frac{-7}{13}$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\frac{3}{2}\left( 4m+1 \right){{x}^{2}}-3\left( 5{{m}^{2}}+m \right)x-m-1.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị lớn hơn$-4$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-3\left( 4m+1 \right)x-3\left( 5{{m}^{2}}+m \right);\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 4m+1 \right)x-5{{m}^{2}}-m.$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( 4m+1 \right)}^{2}}+4\left( 5{{m}^{2}}+m \right)=36{{m}^{2}}+12m+1={{\left( 6m+1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{-1}{6}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $f\left( x \right)=0$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4m+1\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-5{{m}^{2}}-m\text{        }  \\\end{matrix} \right.(*)$

Từ giả thiết, ta có $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}>-4  \\   {{x}_{2}}>-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+4>0  \\   {{x}_{2}}+4>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \left( {{x}_{1}}+4 \right)+\left( {{x}_{2}}+4 \right)>0  \\   \left( {{x}_{1}}+4 \right)\left( {{x}_{2}}+4 \right)>0\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-8\text{                   }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+16>0  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp với (*) ta được

$\left\{ \begin{matrix}   4m+1>-8\text{                          }  \\   -5{{m}^{2}}-m+4\left( 4m+1 \right)+16>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   4m>-9\text{                 }  \\   5{{m}^{2}}-15m-20<0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   4m>-9\text{    }  \\   -1<m<4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -1<m<4$

Đối chiếu với điều kiện $m\ne \frac{-1}{6}$ nên suy ra $m\in \left( -1;\frac{-1}{6} \right)\cup \left( \frac{-1}{6};4 \right)$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 3: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+\left( m-3 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}-2\left( {{m}^{2}}-m \right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho $x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.x_{2}^{2}=\frac{-16}{9}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-2\left( {{m}^{2}}-m \right);\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-2\left( {{m}^{2}}-m \right).$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}+24\left( {{m}^{2}}-m \right)=25{{m}^{2}}-30m+9={{\left( 5m-3 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{5}{3}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $f\left( x \right)=0$ suy ra ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{3-m}{3};{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2m-2{{m}^{2}}}{3}\text{    (*)}$

Từ giả thiết, ta có $x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.x_{2}^{2}=\frac{-16}{9}\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\frac{16}{9}=0.$ Kết hợp với (*) ta được

$\frac{2m-2{{m}^{2}}}{3}.\frac{3-m}{3}+\frac{16}{9}=0\Leftrightarrow \left( 2m-2{{m}^{2}} \right)\left( 3-m \right)+16=0$

$\Leftrightarrow 6m-2{{m}^{2}}-6{{m}^{2}}+2{{m}^{3}}+16=0\Leftrightarrow 2{{m}^{3}}-8{{m}^{2}}+6m+16=0\Leftrightarrow m=-1.$

Đối chiếu với điều kiện $m\ne \frac{5}{3}$ nên suy ra $m=-1$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m+3 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}+\left( {{m}^{2}}+3m \right)x-m+1.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho $x_{CD}^{3}-2{{x}_{CT}}=-10.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}+3m;\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}+3m.$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+3m \right)=9>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có

$\left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m+3+3}{2}=m+3  \\   {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m+3-3}{2}=m\text{     }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\text{    }\left( 3>0\Rightarrow m+3>m \right)$

Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba $a=\frac{1}{3}>0$ do đó suy ra

${{x}_{1}}={{x}_{CT}}=m+3;{{x}_{2}}={{x}_{CD}}=m\text{    (*)}$

Từ giả thiết, ta có $x_{CD}^{3}-2{{x}_{CT}}=-10.$ Kết hợp với (*) ta được

${{m}^{3}}-2\left( m+3 \right)=-10\Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+4=0\Leftrightarrow m=-2$

Đối chiếu với điều kiện $m\in \mathbb{R}$ nên suy ra $m=-2$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 5: Cho hàm số $y=\frac{-1}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right)\frac{{{x}^{2}}}{2}+\left( m-{{m}^{2}} \right)x.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho $3x_{CT}^{2}+x_{CD}^{2}<1.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=-{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m-{{m}^{2}};\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m.$

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}>0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-m \right)=1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$

Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có

$\left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m-1+1}{2}=m\text{            }  \\   {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2m-1-1}{2}=m-1\text{      }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\text{    }\left( 0>-1\Rightarrow m>m-1 \right)$

Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba $a=\frac{-1}{3}<0$ do đó suy ra

${{x}_{1}}={{x}_{CT}}=m-1;{{x}_{2}}={{x}_{CD}}=m\text{    (*)}$

Từ giả thiết, ta có $3x_{CT}^{2}+x_{CD}^{2}<1.$ Kết hợp với (*) ta được

$3{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}<1\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6m+2<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<1$

Đối chiếu với điều kiện $m\in \mathbb{R}$ nên suy ra $\frac{1}{2}<m<1$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 6: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+mx+2\left( C \right).$ Tìm $m$ để hàm số có 2 cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)=2$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2\left( 2m+1 \right)x+m=0\text{   (1)}\text{.}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3m>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m+1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( 2m+1 \right)}{3}  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{3}\text{               }  \\\end{matrix} \right.$

Do vậy $A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=3{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{4{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{3}-\frac{2m}{3}$

$A=\frac{16{{m}^{2}}+14m+4}{3}=2\Leftrightarrow 16{{m}^{2}}+14m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=\frac{1}{8}\text{ }  \\\end{matrix} \right..$

Vậy $m=-1;m=\frac{1}{8}$ là các giá trị cần tìm.

Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3mx+2\left( C \right).$ Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ sao cho$2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m=0\text{   (1)}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '=1-m>0\Leftrightarrow m<1$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\text{  }  \\   \begin{array}  {} 2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=-1\text{                   }  \\   \begin{array}  {} {{x}_{2}}=3 \\  {} m={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3\text{  }(tm) \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6mx+2\left( C \right).$ Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ đều dương và thỏa mãn$\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=\sqrt{10}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2m=0\text{   (1)}\text{.}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị dương$\Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2m={{m}^{2}}+1>0  \\   2\left( m+1 \right)>0\text{                            }  \\   2m>0\text{                                    }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\text{         }  \\\end{matrix} \right.$

Theo giả thiết, ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}2m+2+2\sqrt{2m}=10\Leftrightarrow 2m+2\sqrt{m}-8=0.$

Đặt $t=\sqrt{2m}\text{ }\left( t\ge 0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}+2t-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   t=2\Rightarrow \sqrt{2m}=2\Leftrightarrow m=2\text{ }\left( tm \right)  \\   t=-4\text{ }(loai)\text{                              }  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m+1 \right)x+1\left( C \right).$ Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ đều dương và thỏa mãn$\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=-6.$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m+1=0\text{   (1)}$

Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow PT(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '={{m}^{2}}-2m-1>0\text{ (*)}$

Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1\text{         }  \\\end{matrix} \right.$

Theo giả thiết, ta có $\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{4{{m}^{2}}-2\left( 2m+1 \right)}{2m+1}=-6$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m\ne \frac{1}{2}\text{                }  \\   4{{m}^{2}}+8m+4=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-1\text{ }\left( tm \right).$ Vậy $m=-1$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 10: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+mx+1$ có đồ thị là $\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại hai điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ sao cho $\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=2$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x-m\text{  (*)}$

Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+4m>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+1>0,\forall m$

Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ của hai điểm cực trị $\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m\text{                  }  \\\end{matrix} \right.$

Ta  có $\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=2\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1=2\Leftrightarrow -m+2m-1+1=2\Leftrightarrow m=2$

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( m-1 \right){{x}^{2}}+x+2$, có đồ thị là $\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=18$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+1\text{  (*)}$

Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-4>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>3  \\   m<-1  \\\end{matrix} \right.$

Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ của hai điểm cực trị $\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-1\text{          }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1\text{                    }  \\\end{matrix} \right.$

Ta  có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=18\Leftrightarrow {{\left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} \right)}^{3}}-3x_{1}^{{}}x_{2}^{{}}\left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} \right)=18$

$\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{3}}-3\left( m-1 \right)=18\Leftrightarrow {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-16=0\Leftrightarrow \left( m-4 \right)\left( {{m}^{2}}+m+4 \right)=0\Leftrightarrow m=4$

Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 12: Tìm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x+1$đạt cực trị tại ${{x}_{1}}$;${{x}_{2}}$ sao cho ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}=25{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$

Lời giải chi tiết

$y'=3{{x}^{2}}-6mx+3=\text{3}\left( {{x}^{2}}-2mx+1 \right);y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1=0.$

Hàm số đã cho đạt cực trị tại ${{x}_{1}}$;${{x}_{2}}$$\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '={{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>1\text{  }  \\   m<-1  \\\end{matrix} \right.\text{   (*)}$

Theo định lý Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$

Theo đề bài ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}=25{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ nên ${{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   2m+1=5\text{  }  \\   2m+1=-5  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{  }  \\   m=-3  \\\end{matrix} \right.\text{  }\left( TM\left( * \right) \right)$

Đ/s: $m=2$ hoặc $m=-3$.

Ví dụ 13: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6mx+1$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $4x_{1}^{2}+{{x}_{1}}+x_{2}^{2}=19.$

Lời giải

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-mx+m=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)-m\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1  \\   x=m  \\\end{matrix}\text{  }\left( 1 \right) \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 1.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=m$ta có: $4+1+{{m}^{2}}=19\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{19}\text{ }\left( tm \right)$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=1$ta có: $4{{m}^{2}}+m+1=19\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m-18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2  \\   m=\frac{9}{4}  \\\end{matrix} \right.\text{  }\left( tm \right)$

Vậy $m=\pm \sqrt{19};m=2;m=\frac{9}{4}$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 14: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+12mx+3$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}=7.$

Lời giải

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+12m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-2mx+2m=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=m  \\\end{matrix}\text{  }\left( 1 \right) \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 2.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=2;{{x}_{2}}=m$ta có: $4+{{m}^{2}}+4=7\Leftrightarrow m=-1\text{ }\left( loai \right)$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=2$ta có: ${{m}^{2}}+2m+4=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1\text{  }  \\   m=-3  \\\end{matrix} \right.\text{  }\left( tm \right)$

Vậy $m=1;m=-3$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 15: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+1$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $3x_{1}^{2}+x_{2}^{{}}+{{x}_{1}}x_{2}^{{}}=5.$

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x-1=m\text{  }  \\   x-1=-m  \\\end{matrix}\Leftrightarrow  \right.\left[ \begin{matrix}   x=1+m\text{  }  \\   x=1-m  \\\end{matrix} \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1+m\ne 1-m\Leftrightarrow m\ne 0.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=1+m;{{x}_{2}}=1-m$ta có: $3{{\left( 1+m \right)}^{2}}+1-m+\left( 1-m \right)\left( 1+m \right)=5$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m+5=5\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=-\frac{5}{2}\text{     }  \\\end{matrix} \right.$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=1-m;{{x}_{2}}=1+m$ta có: $3{{\left( 1-m \right)}^{2}}+1+m+\left( 1-m \right)\left( 1+m \right)=5\text{ }$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-5m+5=5\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)\text{  }  \\   m=\frac{5}{2}\text{           }  \\\end{matrix} \right.\text{ }$

Vậy $m=\pm \frac{5}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 16: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+{{m}^{3}}$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\frac{3}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=2.$

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}={{1}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x-m=1\text{  }  \\   x-m=-1  \\\end{matrix}\Leftrightarrow  \right.\left[ \begin{matrix}   x=m+1\text{  }  \\   x=m-1\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m+1\ne m-1\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}.$

Khi đó ta xét 2 trường hợp:

TH1: Cho ${{x}_{1}}=m+1;{{x}_{2}}=m-1$ta có: $\frac{3}{m+1}+\frac{1}{m-1}=2\Leftrightarrow 4m-2=2\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( m\ne \pm 1 \right)$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{     }  \\   m=2\text{     }  \\\end{matrix} \right.$

TH2: Cho ${{x}_{1}}=m-1;{{x}_{2}}=m+1$ta có: $\frac{3}{m-1}+\frac{1}{m+1}=2\Leftrightarrow 4m+2=2\left( {{m}^{2}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-2=0\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{3}$

Vậy $m=0;m=1;m=1\pm \sqrt{3}$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 17: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-3 \right)x-4$. Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{2}}=-5{{x}_{1}}.$

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-12x-3\left( {{m}^{2}}-3 \right);y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-{{m}^{2}}+3=0$

Hàm số đã cho đạt cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta =4+{{m}^{2}}-3>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\text{   }\left( * \right)$

Khi đó theo Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-{{m}^{2}}$. Bài ra ${{x}_{2}}=-5{{x}_{1}}\Rightarrow {{x}_{1}}-5{{x}_{1}}=4\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-1\Rightarrow {{x}_{2}}=5$

$\Rightarrow 3-{{m}^{2}}=-1.5\Leftrightarrow {{m}^{2}}=8\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{2}.$ Thỏa mãn (*).

Ví dụ 18: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+7$. Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8.$

Lời giải

TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3\left( {{m}^{2}}-3m \right);y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3m=0$

Hàm số đã cho có cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m \right)>0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1\text{   }\left( * \right)$

Khi đó theo Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right);{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3m.$.

Bài ra có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\Leftrightarrow {{\left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} \right)}^{2}}-2x_{1}^{{}}x_{2}^{{}}=8\Rightarrow 4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-3m \right)=8$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1\left( Ko\text{ }TM\left( * \right) \right)  \\   m=2\left( TM\left( * \right) \right)  \\\end{matrix} \right.$.

Ví dụ 19: Tìm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+{{m}^{3}}$đạt cực trị tại ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3.$

Lời giải

TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=3x\left( x-2m \right);y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=2m  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số đã cho đạt cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt  $\Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0\text{   }\left( * \right)$

TH1:${{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=2m$khi đó: $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3\Leftrightarrow =0+2.2m=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}.$ Đã thỏa mãn (*).

TH2:${{x}_{1}}=2m;{{x}_{2}}=0$khi đó: $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3\Leftrightarrow =2m+2.0=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}.$ Đã thỏa mãn (*).

Ví dụ 20: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 6m+3 \right)x+5,$ có đồ thị là $\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=2$

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m+3=3\left[ {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2m+1 \right]$

Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 2m+1 \right)>0\Leftrightarrow m\ne 0$

Khi đó $y'=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2m+1  \\   x=1\text{        }  \\\end{matrix} \right.$

TH1:${{x}_{1}}=2m+1;{{x}_{2}}=1\Rightarrow 2m+1+5=2\Rightarrow m=-2$

TH2: ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=2m+1\Rightarrow 1+5\left( 2m+1 \right)=2\Rightarrow m=-\frac{2}{5}$

Vậy $m=-2;,m=-\frac{2}{5}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 21: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+1,$ có đồ thị là $\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$và $x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}=8.$

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=3\left[ {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right]$

Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow 1>0,\forall m$

Khi $y'=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}   x=m-1  \\   x=m+1  \\\end{matrix} \right..$ Ta có $m+1>m-1\Rightarrow {{x}_{1}}=m+1,{{x}_{2}}=m-1$

Theo bài thì $x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{3}}+2{{\left( m-1 \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow 3{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+9m-9=0$

$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( 3{{m}^{2}}+9 \right)=0\Leftrightarrow m=1.$ Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 22: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2m+\frac{1}{3}$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số 2 điểm cực trị tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ nhận điểm $G\left( 0;\frac{2}{3} \right)$ làm trọng tâm.

Lời giải

Ta có: $y'={{x}^{2}}-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$

Khi đó hàm số luôn có 2 điểm cực trị tại $A\left( -2;2m+\frac{17}{3} \right)$ và $B\left( 2;2m-5 \right)$

Do đó trọng tâm tam giác $OAB$ có tọa độ $G\left( 0;\frac{4m+\frac{2}{3}}{3} \right)$

Từ giả thiết bài toán ta cho: $4m+\frac{2}{3}=2\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}$

Vậy $m=\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 23: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2{{m}^{3}}$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số 2 điểm cực trị tại $A$ và $B$ sao cho $AB=OA\sqrt{5}$ trong đó điểm $A$ là điểm cực trị thuộc trục tung và $O$ là gốc tọa độ.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\x=2m  \\\end{matrix} \right.\text{   }\left( 1 \right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.

Khi đó với $x=0\Rightarrow y=2{{m}^{3}}\Rightarrow A\left( 0;2{{m}^{3}} \right)$ (vì A thuộc trục tung)

Với $x=2m\Rightarrow y=-2{{m}^{3}}\Rightarrow B\left( 2m;-2{{m}^{3}} \right)$

Theo bài ra ta sẽ có: $A{{B}^{2}}=5.O{{A}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+16{{m}^{6}}=5.4{{m}^{6}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=4{{m}^{6}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{(loai)                }  \\   {{m}^{4}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 24: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4$$\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số 2 điểm cực trị tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng 4.

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=2m  \\\end{matrix} \right.\text{   }\left( 1 \right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.

Khi đó với $x=0\Rightarrow y=2{{m}^{3}}\Rightarrow A\left( 0;4 \right).$

Với $x=2m\Rightarrow y=-2{{m}^{3}}\Rightarrow B\left( 2m;-4{{m}^{3}}+4 \right)$

Ta có: $OA=4$và $O$ và $A$ đều thuộc trục $Oy$ nên ${{S}_{AOB}}=\frac{1}{2}.OA.d\left( B;Oy \right)=2.\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow m=\pm 1$

Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 25: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}}$, có đồ thị là $\left( C \right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác ${{S}_{OAB}}=4$

Lời giải

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx=3x\left( x-2m \right)$, hàm số có hai điểm cực trị khi $m\ne 0.$

Khi$y'=0\Leftrightarrow 3x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=4{{m}^{3}}  \\   x=2m\Rightarrow y=0  \\\end{matrix} \right.$

Giả sử $A\left( 0;4{{m}^{3}} \right),B\left( 2m;0 \right)$ là các điểm cực trị của hàm số

Ta có ${{S}_{AOB}}=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.OA.OB=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left| 4{{m}^{3}} \right|.\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow \left| {{m}^{4}} \right|=1\Leftrightarrow {{m}^{4}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1\text{   }  \\   m=-1  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=1,m=-1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 26: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2$ (với m là tham số thực). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Lời giải

Ta có: $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2,y'=3{{x}^{2}}-6mx$. Cho $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   x=2m  \\\end{matrix}. \right.$

Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là $m\ne 0$.

Ta có $y=\frac{1}{3}\left( x-m \right).y'+2{{m}^{2}}x+2\Rightarrow $ phương trình qua cực trị là $y=2{{m}^{2}}x+2.$

Tại $x=0\Rightarrow y=2,y=0\Rightarrow x-\frac{1}{{{m}^{2}}}.$

Nên diện tích tam giác tạo bởi các trục là $S=\frac{1}{2}.2.\frac{1}{{{m}^{2}}}=4\Leftrightarrow m=\pm \frac{1}{2}.$

Vậy $m=\pm \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 27: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( m-3 \right){{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1.$ Giá trị của $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu là: A. $m>2.$                         B. $m>3.$                              C. $m<3.$                         D. $m<2.$

Lời giải

$y'={{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+m-2.$ Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì ${{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+m-2=0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0  \\   ac<0\text{               }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow ac=\left( m-2 \right)<0\Leftrightarrow m<-2.$ Chọn D.

Ví dụ 29: Tìm $m$ để hàm số$f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3.$ A. $m=\frac{2}{3}.$       B. $m=\pm \frac{3}{2}.$      C. $m=\pm 2.$                  D. $m=\frac{3}{2}.$

Lời giải

$y'=3{{x}^{2}}-6x+m.$ ĐK có 2 cực trị là $\Delta '=9+3m>0$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{3}\text{  }  \\\end{matrix} \right..$ Theo giả thiết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\Leftrightarrow 4-2.\frac{m}{3}=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\left( t/m \right).$ Chọn D.

Ví dụ 30: Cho hàm số $y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+\frac{2}{3}\left( C \right).$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1.$ A. $m=0;m=\frac{2}{3}.$                                               B. $m=0.$                          C. $m=\frac{2}{3}.$ D. $m=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}.$

Lời giải

Ta có:$y'=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=0.$

ĐK có 2 cực trị là $\Delta =4{{m}^{2}}-1>0.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m\text{       }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}\text{+1  }  \\\end{matrix} \right.$

GT $\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=\frac{2}{3}\text{        }  \\\end{matrix} \right..$ Chọn C.

Ví dụ 31: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16=0.$ A. $m=-2.$                        B. $m=2.$                              C. $m=-3.$                        D. $m=3.$

Lời giải

Ta có:$y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( m+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+m+1=0.$

ĐK có 2 cực trị $\Delta '={{m}^{2}}-m-1>0.$ Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\text{       }  \\   {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m\text{+1        }  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $3.2m+4.\left( m+1 \right)+16=0\Leftrightarrow m=-2$ (thỏa mãn). Chọn A.

Ví dụ 32: Tìm các giá trị của tham số$m$ để hàm số$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+4\left( m+3 \right)x+{{m}^{2}}-m$ có các điểm cực trị ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $-1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ A. $\left( -\infty ;-2 \right).$                                             B. $\left( -\frac{7}{2};-2 \right).$            C. $\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right).$                   D. $\left( -\frac{7}{2};-3 \right).$.

Lời giải

Ta có $y'=\left[ \frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+4\left( m+3 \right)x+{{m}^{2}}-m \right]\begin{matrix}   '  \\   {}  \\\end{matrix}={{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+4\left( m+3 \right).$

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi $\Delta \left( y'=0 \right)>0\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}-4\left( m+3 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m+3>4  \\   m+3<0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>1\text{   }  \\   m<-3  \\\end{matrix} \right.\left( * \right)$

Khi đó gọi hai cực trị là ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$, suy ra $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\left( m+3 \right)\text{       }  \\   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\left( m\text{+3} \right)\text{             }  \\\end{matrix} \right.$

Mặt khác $-1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)>0  \\   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-2\text{         }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1>0  \\   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>2\text{                  }  \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   4\left( m+3 \right)-2\left( m+3 \right)+1>0  \\   -2\left( m+3 \right)>-2\text{                }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m+3>-\frac{1}{2}  \\   m+3<1\text{    }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m>-\frac{7}{2}\text{  }  \\   m<-2\text{    }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\frac{7}{2};-2 \right).$

Kết hợp (*)$\Rightarrow m\in \left( -\frac{7}{2};-2 \right).$ Chọn D.

Ví dụ 33: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2m+1.$ Tìm tất cả các giá trị của thm số $m$ giá trị cực đại của hàm số bằng 4 A. $m=2.$                         B. $m=\frac{5}{2}.$             C. $m=\frac{1}{2}.$        D. $m=5.$

Lời giải

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\text{   }  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right..$ Hàm số có $a=1>0$ nên ${{x}_{CT}}>{{x}_{CD}}\Rightarrow {{x}_{CD}}=-1$

Khi đó ${{y}_{CD}}=y\left( -1 \right)=3+2m=4\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}.$ Chọn C.

Ví dụ 34: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+m$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm$A$ và $B$ sao cho$O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=12$ (với $O$ là gốc tọa độ). A. $m=\pm 1.$                  B. $m=\pm \sqrt{2}.$            C. $m=\pm \sqrt{3}.$       D. $m=\pm 2.$

Lời giải

$y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\Rightarrow y=m-2\text{   }  \\   x=-1\Rightarrow y=m+2\text{ }  \\\end{matrix} \right..$ Khi đó $A\left( 1;m-2 \right),B\left( -1;m+2 \right)$

Ta có: $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=1+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+1+{{\left( m+2 \right)}^{2}}=2{{m}^{2}}+10=12\Leftrightarrow m=\pm 1.$ Chọn A.

Ví dụ 35: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m+1$. Số các giá trị nguyên của $m$để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành. A. 5.                                   B. 4.                                        C. 3.                                   D. 2.

Lời giải

$y'=-3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=m+1\text{   }  \\   x=2\Rightarrow y=m-3\text{   }  \\\end{matrix} \right..$ Để hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành thì ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}<0\Leftrightarrow \left( m+1 \right)\left( m-3 \right)<0\Leftrightarrow -1<m<3.$ Chọn C.

Ví dụ 36: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3mx+2-m$ đạt cực trị$A\left( {{x}_{1}};{{y}_{2}} \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ thỏa mãn: $\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2 \right)}<0.$ A. $m>2.$                         B. $m\ge 2.$                           C. $m<2.$                         D. $m\in \mathbb{R}.$

Lời giải

Ta có:$y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+3m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m=0$

Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m+1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}.$

Do hàm số có $a=1>0$ nên ${{x}_{CD}}<{{x}_{CT}},$ mặt khác ${{y}_{CD}}>{{y}_{CT}}$ nên trong trường hợp này ta luôn có

$\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}<0.$ Do đó ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-2>0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m>2\Leftrightarrow m>2.$ Chọn A.

Ví dụ 37: Gọi d là đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+9x-1.$ Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua điểm $A\left( -\frac{9}{2};8 \right).$ A. $m=-4.$                        B. $m=-3.$                             C. $m=4.$                         D. $m=4$hoặc $m=-3.$

Lời giải

Ta có:$y'={{x}^{2}}+2mx+9=0.$

ĐK để hàm số có cực trị là $\Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}-9>0$

Khi đó ta có: $y=y'.\left( \frac{x}{3}+\frac{m}{3} \right)+\left( 6-\frac{2}{3}{{m}^{2}} \right)x-1-3m\Rightarrow $ đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là: $d:y=\left( 6-\frac{2}{3}{{m}^{2}} \right)x-1-3m$

Để d đi qua điểm $A\left( -\frac{9}{2};8 \right)$ thì $\left( 6-\frac{2}{3}{{m}^{2}} \right).\left( -\frac{9}{2} \right)-1-3m=8$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=4\text{      }  \\   m=-3\left( l \right)  \\\end{matrix} \right..$ Chọn C.

Ví dụ 38: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+1$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). A. $m=\pm 3.$                  B. $m=\pm 1.$                       C. $m=\pm 5.$                  D. $m=\pm 2.$

Lời giải

Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+1$, ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx;y'=0\Leftrightarrow x\left( x-2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   x=2m  \\\end{matrix} \right..$

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m\ne 0.$ Khi đó gọi $A\left( 0;1 \right)$ và $B\left( 2m;1-4{{m}^{3}} \right).$

Phương trình đường thẳng OA là $x=0\Rightarrow d\left( B;\left( OA \right) \right)=2\left| m \right|$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.d\left( B\left( OA \right) \right).OA=\left| m \right|=1\Rightarrow m=\pm 1.$ Chọn B.