Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x0

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x₀. 

Phương pháp giải cực trị hàm bậc ba tại điểm

Bài toán 1: Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Điều kiện để  hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}>0\text{    }  \\   y'\left( {{x}_{0}} \right)=0  \\\end{matrix} \right..$

Bài toán 2: Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ ta suy ra $y'\left( {{x}_{0}} \right)=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số $m$.

Với giá trị của tham số $m$ tìm được ta tính $y''\left( {{x}_{0}} \right)$ để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.

Bài tập tìm điều kiện để hàm bậc 3 đạt cực trị tại điểm x=x₀

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-4x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=4-3m>0\text{    }  \\   y'\left( 2 \right)=4+m=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-4.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}+2x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=1-m>0\text{    }  \\   y'\left( -1 \right)=m-1=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\varnothing .$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6mx+m+9.$ Cho $y'\left( 2 \right)=24-12m+m+9=0\Leftrightarrow m=3.$

Với $m=3\Rightarrow y'=6{{x}^{2}}-18x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=1  \\\end{matrix}. \right.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2mx+n\Rightarrow y'\left( 2 \right)=-4m+n+12=0\Leftrightarrow 4m-n=12$

Mặt khác $A\left( 2;7 \right)\in \left( C \right)$ nên $x=2\Rightarrow y=7$ nên ta có $8-4m+2n+1=7\Leftrightarrow 4m-2n=2$

Khi đó $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-11x+10\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=\frac{5}{3}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow$ Hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow 2m+n=21.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6mx+n.$ Cho $y'\left( -1 \right)=3-6m+n=0\Leftrightarrow 6m-n=3.$

Mặt khác đồ thị hàm số qua$A\left( -1;4 \right)$ nên $4=-1+3m-n-2\Leftrightarrow 3m-n=7$

Do đó $\left\{ \begin{matrix}   6m-n=3  \\   3m-n=7  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m=\frac{-4}{3}  \\   n=-11  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-8x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=\frac{11}{3}  \\\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn có 2 điểm cực trị).

Chọn A.

Lời giải chi tiết

$y'={{x}^{2}}-\left( 2m+4 \right)x+{{m}^{2}}+4m+3$

Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2$ thì $${{2}^{2}}-\left( 2m+4 \right).2+{{m}^{2}}+4m+3=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1$$

Với $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-6x+8\Rightarrow y''=2x-6\Rightarrow y''\left( 2 \right)=-2<0\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực đại.

Với $m=-1$ thì $y'={{x}^{2}}-2x\Rightarrow y''=2x-2\Rightarrow y''\left( 2 \right)=2>0\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực tiểu.

Vậy $m=1$ là điểm cần tìm. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1;y''=2x-2m$

Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y'\left( 1 \right)={{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1  \\   m=2  \\\end{matrix} \right..$

Với $m=1\Rightarrow y''\left( 1 \right)=0\Rightarrow x=1$ không phải điểm cực đại.

Với $m=2\Rightarrow y''\left( 1 \right)=-2<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại của hàm số. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=-54{{x}^{2}}+18\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+6\left( 2-3m \right),y''=-108x+18\left( {{m}^{2}}+1 \right).$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$ khi đó $y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Leftrightarrow -6+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)+6\left( 2-3m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{  }  \\   m=-1  \\\end{matrix} \right..$

TH1: Với $m=-1\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ không phải điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Với $m=2\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=54>0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Suy ra với $m=2$ thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}.$ Cho $$y'\left( -1 \right)=-3-2m+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=3\text{  }  \\\end{matrix} \right..$$

Với $m=3\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x+6\Rightarrow y''\left( -1 \right)=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Với $m=-1\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x-2\Rightarrow y''\left( -1 \right)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2ax+b.$ Cho $\left\{ \begin{matrix}   y'\left( 1 \right)=3+2a+b=0\text{    }  \\   y'\left( -2 \right)=12-4a+b=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=\frac{3}{2}\text{ }  \\   b=-6  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b=\frac{-9}{2}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b.$

Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{matrix}   f'\left( 1 \right)=0\text{             }  \\   f\left( 1 \right)=-3\text{            }  \\   f\left( 0 \right)=2\text{              }  \\   f''\left( 1 \right)=6+2a>0  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3+2a+b=0\text{    }  \\   1+a+b+c=-3  \\   c=2\text{                 }  \\   a>-3\text{               }  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=3\text{  }  \\   b=-9  \\   c=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+2$

$\Rightarrow f\left( -2 \right)=24.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2bx+c.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0;x=2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( 0 \right)=c=0\text{           }  \\   y'\left( 2 \right)=12a+4b=0  \\\end{matrix} \right.(1)$

Lại có $M,N\in \left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y\left( 0 \right)=d=2\text{             }  \\   y\left( 2 \right)=8a+4b+c+2  \\\end{matrix} \right.(2).$

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0,d=2  \\   a=1,b=-3  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$ Do đó $y\left( -2 \right)=-18.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Điểm $E\left( 0;-4 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( 0 \right)=0\text{  }  \\   y\left( 0 \right)=-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0\text{    }  \\   d=-4  \\\end{matrix} \right.(1).$

Điểm $F\left( -1;-3 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( -1 \right)=0\text{  }  \\   y\left( -1 \right)=-3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3a-2b=0\text{    }  \\   -a+b-4=-3  \\\end{matrix} \right.(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=3,c=0,d=-4\Leftrightarrow y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4\Rightarrow y\left( -2 \right)=-8.$ Chọn A.