Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}>0.$
Hàm số không có cực trị khi $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}\le 0.$.
Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+12x+1$ không có cực trị là
A. 3. B. 5. C. 4. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+12=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4=0\text{ }\left( * \right).$
Để hàm số không có cực trị thì $\Delta {{'}_{\left( * \right)}}={{m}^{2}}-2\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 2.$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 5 giá trị của $m$. Chọn B.
Bài tập 2: Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-\left( 1-2m \right)x+m+2$ có cực đại và cực tiểu là
A. 20. B. 21. C. 10. D. 9. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'={{x}^{2}}+2mx-\left( 1-2m \right).$
Để hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}+\left( 1-2m \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \left[ -10;10 \right] \\ m\in \mathbb{Z}\text{ } \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 20 giá trị của $m.$ Chọn A.
Bài tập 3: Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+1$có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi.
A. $m\ne 1.$ B. $m\in \mathbb{R}.$ C. $m\ne 0.$ D. Không tồn tại $m.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0\text{ (1)}\text{.}$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}=1-\left( 1-{{m}^{2}} \right)={{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.$ Chọn C.
Bài tập 4: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( 2-m \right)x-2.$ Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số có cực trị là
A. 39. B. 3. C. 38. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'=-3{{x}^{2}}+2\left( 2m-1 \right)x+m-2.$ Để hàm số có cực trị thì $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+3\left( m-2 \right)>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m>\frac{5}{4}\text{ } \\ m<-1 \\\end{matrix}. \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \left[ -20;20 \right] \\ m\in \mathbb{Z}\text{ } \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 38 giá trị của tham số $m.$ Chọn C.
Bài tập 5: Số giá trị nguyên dương của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-5$có cực trị là:
A. 3. B. 4. C. 2. D. Vô số. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}=9-3m>0\Leftrightarrow m<3$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}*\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}.$ Chọn C.
Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+mx-1$ có cực trị.
A. $\left[ \begin{matrix} m>\frac{3}{4} \\ m<0 \\\end{matrix} \right..$ B. $\left[ \begin{matrix} m\ge \frac{3}{4} \\ m\le 0 \\\end{matrix} \right..$ C. $m<0.$ D. $0<m<\frac{3}{4}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+4mx+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow y'=3{{x}^{2}}+4mx+m$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta '=4{{m}^{2}}-3m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m>\frac{3}{4} \\ m<0 \\\end{matrix} \right.$. Chọn A.
Bài tập 7: Cho hàm số $y=-2{{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+2.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y'=-6{{x}^{2}}+2\left( 2m-1 \right)x-\left( {{m}^{2}}-1 \right).$
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi $\Delta '={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-6\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}-4m+7>0$ (xét $m\in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \frac{-2-3\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{-2+3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow -3,1<m<1,12\Rightarrow m=-3;-2;-1;0;1.$ Chọn B.
Bài tập 8: Cho hàm số $y=\frac{\left( m-1 \right){{x}^{3}}}{3}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+4x-1.$ Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi:
A. $m<1.$ B. $\left[ \begin{matrix} m<1 \\ m>5 \\\end{matrix} \right..$ C. $m>5.$ D. \[\left[ \begin{matrix} m=1 \\ m=5 \\\end{matrix} \right..\] |
Lời giải chi tiết
Với $m=1$ ta có $y=4x-1$ hàm số đã cho không có cực trị.
Với $m\ne 1$ ta có: $y'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+4$
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời
${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=m-1<0\text{ } \\ \Delta {{'}_{y'}}=y'={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( m-1 \right)>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1\text{ } \\ \left( m-1 \right)\left( m-5 \right)>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<1.$ Chọn A.
Bài tập 9: Cho hàm số $y=\frac{m{{x}^{3}}}{3}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}.$
A. $-1<m<0.$ B. $-1<m<\frac{1}{2}.$ C. $-1\le m<0.$ D. $-1\le m\le \frac{1}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Với $m=0\Rightarrow y=-{{x}^{2}}+3x+1$ không thỏa mãn có 2 điểm cực trị.
Với $m\ne 0$. Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+3\left( m+1 \right).$ Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=\frac{m}{3}<0\text{ } \\ \Delta {{'}_{y'}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-3m\left( m+1 \right)=\left( m+1 \right)\left( 1-2m \right)>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -1<m<0.$ Chọn A.
TOÁN LỚP 12