Tìm điểm M thuộc (P) sao cho →u=a→MA+b→MB+c→MCcó |→u|đạt min.
+Tìm điểm I thõa mãn hệ thức a→IB+b→IB+c→IC=→0 tọa độ điểm I là: {x1=axA+bxB+cxCa+b+cy1=ayA+byB+cyCa+b+cz1=azA+bzB+czCa+b+c
Phân tích →u=a→MA+b→MB+c→MC=(a+b+c)→MI+(a→IA+b→IB+c→IC)=(a+b+c)→MI
Khi đó |→u|=|a+b+c|MI⇒|→u|min⇔M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) ⇒→uIM=→n(P)
Khi đó M=(P)∩(IM).
Bài tập 1: Cho các điểm A(2;1;−1); B(0;3;1)và (P):x+y−z+3=0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
a) |→MA+→MB|min. b) |2→MA−→MB|min. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi I(1;2;0) là trung điểm của AB thì |→IA+→IB|=→0
Ta có: |→MA+→MB|=|2→MI| nhỏ nhất ⇔MImin⇔là M là hình chiếu của điểm I trên (P)
Phương trình đường thẳng MI là: {x=1+ty=2+tz=−t⇒M(1+t;2+t;−t)
Cho M∈(P)⇒1+t+2+t+t+3=0⇔t=−2⇒M(−1;0;2).
b) Gọi I là điểm thỏa mãn 2→IA−→IB=→0⇒{x1=2xA−xB2−1=4y1=2yA−yB2−1=−1z1=2zA−zB2−1=−3
Ta có: |2→MA−→MB|=|2→MI+2→IA−(→MI+→IB)|=|→MI|=MInhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của điểm I trên (P). Phương trình đường thẳng MI là: {x=4+ty=−1+tz=−3−t⇒M(4+t;−1+t;−3−t)
Cho M∈(P)⇒4+t−1+t+3+t+3=0⇔t=−3⇒M(1;−4;0).
Bài tập 2: Cho các điểm A(1;0;−1); B(2;−2;1)C(0;−1;0) và (P):x−2y+2z+6=0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
a) |→MA+→MB+→MC|min. b) |2→MA−4→MB+3→MC|min. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒{G(0;1;−2)→GA+→GB+→GC=→0.
Ta có: |→MA+→MB+→MC|=|3→MG|=3MG ⇔ M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).
Phương trình đường thẳng MG khi đó là: {x=ty=−1−2tz=−2+2t⇒M(t;−1−2t;−2+2t)
Cho M∈(P)⇒t+4t−2+4t−4+6=0⇔t=0⇒M(0;1;−2).
b) Gọi I là điểm thỏa mãn 2→IA−4→IB+3→IC=→0⇒{x1=2xA−4xB+3xC2−4+3=−6y1=2yA−4yB+3yC2−4+3=5z1=2zA−4zB+3zC2−4+3=−6
Phương trình đường thẳng MI khi đó là: {x=−6+ty=5−2tz=−6+2t⇒M(−6+t;5−2t;−6+2t)
Cho M∈(P)⇒−6+t+4t−10+4t−12+6=0⇔t=229⇒M(−329;899;−109).
Bài tập 3: Cho các điểm A(4;1;−1); B(2;3;−2)C(6;3;−12) và (P):x+2y−z+1=0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |2→MA+3→MB−→MC|min. Độ dài đoạn thẳng OM là:
A. OM=√5. B. OM=√3. C. OM=3. D. OM=9. |
Lời giải chi tiết
Gọi I là điểm thỏa mãn 2→IA+3→IB−→IC=→0⇒{x1=2xA+3xB−xC2+3−1=2y1=2yA+3yB−yC2+3−1=2z1=2zA+3zB−zC2+3−1=1
Phương trình đường thẳng MI khi đó là: {x=2+ty=2+2tz=1−t⇒M(2+t;2+2t;1−t)
Cho M∈(P)⇒2+t+4t+4+t−1+1=0⇔t=−1⇒M(1;0;2)⇒OM=√5. Chọn A.
Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyzcho tam giác ABC có A(−1;2;3); B(3;0;−1)C(1;4;7) và (P):x−2y+2z+6=0. Gọi M(a;b;c)là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2+MB2+MC2nhỏ nhất. Giá trị biểu thức T=a2+b2+c2là.
A. T=10. B. T=17. C. T=21. D. T=26. |
Lời giải chi tiết:
Gọi G(1;2;3) là trọng tâm tam giác ABC thì →GA+→GB+→GC=→0.
Ta có: MA2+MB2+MC2=→MA2+→MB2+→MC2=(→MG+→GA)2+(→MG+→GB)2+(→MG+→GC)2
=3MG2+2→MG(→GA+→GB+→GC)+GA2+GB2+GC2
=3MG2+GA2+GB2+GC2nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)
Phương trình MG: x−11=y−2−2=z−32suy ra M=MG∩(P)⇒M(0;4;1)
Do đó T=a2+b2+c2=17 . Chọn B.
Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyzcho mặt phẳng cho 3 điểm A(0;−3;1); B(2;7;1) và C(1;0;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x+y−z−3=0 . Gọi M(a;b;c) trên (P) sao cho |→MA+→MB+2→MC| nhỏ nhất. Tính giá trị của T=a+2b−3c.
A. T=0. B. T=4. C. T=3. D. T=−1. |
Lời giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn |→IA+→IB|=→IA+→IB+2→IC=→0⇒{x1=xA+xB+2xC1+1+2=1y1=yA+yB+2yC1+1+2=2z1=zA+zB+2zC1+1+2=2⇔I(1;1;2).
Khi đó →MA+2→MB+3→MC=→MI+→IA+→MI+→IA+2→MI+2→IC=4→MI
Khi đó |→MA+→MB+2→MC|nhỏ nhất ⇔MImin⇔M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P).
Ta có: IM:x−11=y1=z−1−1⇒M=MI∩(P)⇒M(2;1;0)T=4. Chọn B.
TOÁN LỚP 12