Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất - Tự Học 365

Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất

Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất

Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất

Bài toán:

Tìm điểm M thuộc (P) sao cho u=aMA+bMB+cMC|u|đạt min.

Phương pháp giải:

+Tìm điểm I thõa mãn hệ thức aIB+bIB+cIC=0 tọa độ điểm I là: {x1=axA+bxB+cxCa+b+cy1=ayA+byB+cyCa+b+cz1=azA+bzB+czCa+b+c

Phân tích u=aMA+bMB+cMC=(a+b+c)MI+(aIA+bIB+cIC)=(a+b+c)MI

Khi đó |u|=|a+b+c|MI|u|minM là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) uIM=n(P)

Khi đó M=(P)(IM).

  Bài tập cực trị oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho các điểm A(2;1;1); B(0;3;1)(P):x+yz+3=0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

a) |MA+MB|min.

b) |2MAMB|min.

Lời giải chi tiết

a)      Gọi I(1;2;0) là trung điểm của AB thì |IA+IB|=0

Ta có: |MA+MB|=|2MI| nhỏ nhất MIminlà M là hình chiếu của điểm I trên (P)

Phương trình đường thẳng MI là: {x=1+ty=2+tz=tM(1+t;2+t;t)

Cho M(P)1+t+2+t+t+3=0t=2M(1;0;2).

b)     Gọi I là điểm thỏa mãn 2IAIB=0{x1=2xAxB21=4y1=2yAyB21=1z1=2zAzB21=3

Ta có: |2MAMB|=|2MI+2IA(MI+IB)|=|MI|=MInhỏ nhất M là hình chiếu của điểm I trên (P). Phương trình đường thẳng MI là: {x=4+ty=1+tz=3tM(4+t;1+t;3t)

Cho M(P)4+t1+t+3+t+3=0t=3M(1;4;0).

Bài tập 2: Cho các điểm A(1;0;1); B(2;2;1)C(0;1;0)(P):x2y+2z+6=0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

a) |MA+MB+MC|min.

b) |2MA4MB+3MC|min.

Lời giải chi tiết

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC {G(0;1;2)GA+GB+GC=0.

Ta có: |MA+MB+MC|=|3MG|=3MG M là hình chiếu của G trên  mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng MG khi đó là: {x=ty=12tz=2+2tM(t;12t;2+2t)

Cho M(P)t+4t2+4t4+6=0t=0M(0;1;2).

b) Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA4IB+3IC=0{x1=2xA4xB+3xC24+3=6y1=2yA4yB+3yC24+3=5z1=2zA4zB+3zC24+3=6

Phương trình đường thẳng MI khi đó là: {x=6+ty=52tz=6+2tM(6+t;52t;6+2t)

Cho M(P)6+t+4t10+4t12+6=0t=229M(329;899;109).

Bài tập 3: Cho các điểm A(4;1;1); B(2;3;2)C(6;3;12)(P):x+2yz+1=0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |2MA+3MBMC|min. Độ dài đoạn thẳng OM là:

A. OM=5B. OM=3C. OM=3D. OM=9.

Lời giải chi tiết

Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA+3IBIC=0{x1=2xA+3xBxC2+31=2y1=2yA+3yByC2+31=2z1=2zA+3zBzC2+31=1

Phương trình đường thẳng MI khi đó là: {x=2+ty=2+2tz=1tM(2+t;2+2t;1t)

Cho M(P)2+t+4t+4+t1+1=0t=1M(1;0;2)OM=5Chọn A.

Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyzcho tam giác ABC có A(1;2;3); B(3;0;1)C(1;4;7)(P):x2y+2z+6=0. Gọi M(a;b;c)là điểm thuộc  mặt phẳng (P) sao cho MA2+MB2+MC2nhỏ nhất. Giá trị biểu thức  T=a2+b2+c2là.

A. T=10B. T=17.  C. T=21D. T=26.

Lời giải chi tiết:

Gọi G(1;2;3) là trọng tâm tam giác ABC thì GA+GB+GC=0.

Ta có: MA2+MB2+MC2=MA2+MB2+MC2=(MG+GA)2+(MG+GB)2+(MG+GC)2

=3MG2+2MG(GA+GB+GC)+GA2+GB2+GC2

=3MG2+GA2+GB2+GC2nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)

Phương trình MG: x11=y22=z32suy ra M=MG(P)M(0;4;1)

Do đó T=a2+b2+c2=17Chọn B.

Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyzcho mặt phẳng cho 3 điểm A(0;3;1); B(2;7;1)C(1;0;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x+yz3=0 . Gọi  M(a;b;c) trên (P) sao cho |MA+MB+2MC| nhỏ nhất. Tính giá trị của T=a+2b3c.

A. T=0B. T=4C. T=3D. T=1.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là điểm thỏa mãn |IA+IB|=IA+IB+2IC=0{x1=xA+xB+2xC1+1+2=1y1=yA+yB+2yC1+1+2=2z1=zA+zB+2zC1+1+2=2I(1;1;2).

Khi đó MA+2MB+3MC=MI+IA+MI+IA+2MI+2IC=4MI

Khi đó |MA+MB+2MC|nhỏ nhất MIminM là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P).

Ta có: IM:x11=y1=z11M=MI(P)M(2;1;0)T=4Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12